Determine os autovalores e autovetores dos seguintes operadores lineares.
.
Passo 1
O enunciado define o operador linear
por
ou seja,
envia uma matriz à sua transposta. Queremos encontrar
e vetores não-nulos
tais que
Isso envolve conceitos de autovalores e autovetores de um operador em um espaço vetorial de dimensão 4.
Passo 2
Escolhemos a base canônica de
:
Aplicando
a esses vetores de base, obtemos
Passo 3
Das quatro imagens acima vemos que
são autovetores com
. Para achar vetores próprios envolvendo
e
, consideramos um vetor genérico
Então
e queremos
Comparando coeficientes em
e
dá o sistema
Passo 4
Do sistema
e
segue
Para
obtemos
, ou seja,
ou
.
- Se
, então e
que corresponde a matrizes simétricas.
- Se
, então e
que corresponde a matrizes antissimétricas.
Passo 5
Reunindo tudo, o espaço
se decompõe em duas partes invariantes:
- O subespaço das matrizes simétricas
, ondeage com autovalor . - O subespaço das matrizes antissimétricas
, onde age com autovalor .
Resposta
Os autovalores de
são
- Autovetores para
: todas as matrizes simétricas
,. - Autovetores para
: todas as matrizes antissimétricas
, .