Determine os autovalores e autovetores dos seguintes operadores lineares.
T: M_{2} \rightarrow M_{2}, \quad T\left(\left[\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right]\right)=\left(\begin{array}{ll}a & c \\\ b & d\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado define o operador linear T: M_{2}\to M_{2} por
T\bigl(\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}\bigr) = \begin{pmatrix}a & c\\\ b & d\end{pmatrix},
ou seja, T envia uma matriz à sua transposta. Queremos encontrar \lambda e vetores não-nulos X\in M_{2} tais que
T(X)=\lambda\,X.
Isso envolve conceitos de autovalores e autovetores de um operador em um espaço vetorial de dimensão 4.

Passo 2

Escolhemos a base canônica de M_{2}:
E_{11}=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix},\quad E_{12}=\begin{pmatrix}0&1\\\ 0&0\end{pmatrix},\quad E_{21}=\begin{pmatrix}0&0\\\ 1&0\end{pmatrix},\quad E_{22}=\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&1\end{pmatrix}.
Aplicando T a esses vetores de base, obtemos
T(E_{11})=E_{11},\quad T(E_{22})=E_{22},\quad T(E_{12})=E_{21},\quad T(E_{21})=E_{12}.

Passo 3

Das quatro imagens acima vemos que
E_{11}\text{ e }E_{22}
são autovetores com \lambda=1. Para achar vetores próprios envolvendo E_{12} e E_{21}, consideramos um vetor genérico
X=\alpha E_{12}+\beta E_{21}.
Então
T(X)=\alpha\,T(E_{12})+\beta\,T(E_{21}) =\alpha\,E_{21}+\beta\,E_{12}
e queremos
\alpha\,E_{21}+\beta\,E_{12} =\lambda\bigl(\alpha E_{12}+\beta E_{21}\bigr).
Comparando coeficientes em E_{12} e E_{21} dá o sistema
\beta=\lambda\,\alpha,\quad \alpha=\lambda\,\beta.

Passo 4

Do sistema \beta=\lambda\alpha e \alpha=\lambda\beta segue
\alpha=\lambda(\lambda\alpha)=\lambda^{2}\alpha \quad\Longrightarrow\quad (\lambda^{2}-1)\alpha=0.
Para \alpha\neq0 obtemos \lambda^{2}=1, ou seja, \lambda=1 ou \lambda=-1.
  • Se \lambda=1, então \beta=\alpha e
X=\alpha\bigl(E_{12}+E_{21}\bigr),
que corresponde a matrizes simétricas.
  • Se \lambda=-1, então \beta=-\alpha e
X=\alpha\bigl(E_{12}-E_{21}\bigr),
que corresponde a matrizes antissimétricas.

Passo 5

Reunindo tudo, o espaço M_{2} se decompõe em duas partes invariantes:
  1. O subespaço das matrizes simétricas
    \{\,\begin{pmatrix}a&b\b&d\end{pmatrix}\}, onde T age com autovalor \lambda=1.
  2. O subespaço das matrizes antissimétricas
    \{\,\begin{pmatrix}0&c\\\ -c&0\end{pmatrix}\}, onde T age com autovalor \lambda=-1.

Resposta

Os autovalores de T são
\lambda_{1}=1\quad(\text{multiplicidade }3), \qquad \lambda_{2}=-1\quad(\text{multiplicidade }1).
  • Autovetores para \lambda=1: todas as matrizes simétricas
    \begin{pmatrix}a&b\b&d\end{pmatrix}, a,b,d\in\mathbb{R}.
  • Autovetores para \lambda=-1: todas as matrizes antissimétricas
    \begin{pmatrix}0&c\\\ -c&0\end{pmatrix}, c\in\mathbb{R}.

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