Determine a matriz [T]_{\mathcal{B}^{\'}}^{\mathcal{B}} nos seguintes casos:
T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, T(x, y)=(-x+5 y, 2 x+y, 4 y), onde \mathcal{B} e \mathcal{B}^{\prime} são as bases de canônicas de \mathbb{R}^{2} e \mathbb{R}^{3}, respectivamente.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
T\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3,\quad T(x,y)=(-x+5y,\;2x+y,\;4y),
e pede a matriz de T em relação às bases canônicas \mathcal{B}=\{e_1,e_2\} de \mathbb{R}^2 e \mathcal{B}'=\{f_1,f_2,f_3\} de \mathbb{R}^3. Vamos usar que as colunas de [T]_{\mathcal{B}'}^{\mathcal{B}} são as coordenadas de T(e_1) e T(e_2) na base canônica de \mathbb{R}^3.

Passo 2

Calcular T(e_1) com e_1=(1,0):
T(1,0)=(-1+5\cdot0,\;2\cdot1+0,\;4\cdot0)=(-1,\;2,\;0).

Passo 3

Calcular T(e_2) com e_2=(0,1):
T(0,1)=(-0+5\cdot1,\;2\cdot0+1,\;4\cdot1)=(5,\;1,\;4).

Passo 4

Montar a matriz colocando essas coordenadas como colunas na ordem e_1,e_2:
[T]_{\mathcal{B}'}^{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix} -1 & 5\\\\ 2 & 1\\\\ 0 & 4 \end{pmatrix}.

Resposta

[T]_{\mathcal{B}'}^{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix} -1 & 5\\\\ 2 & 1\\\\ 0 & 4 \end{pmatrix}.

Exercícios relacionados