Verifique se cada uma das aplicações a seguir são transformações lineares.
Reflexão R_{r}(x, y) em relação a uma reta r que passa pela origem: seja r dada pela equação vetorial (x, y)=t(a, b), então R_{r}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} é dada por R_{r}(x, y)= \left(\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}} \cdot x+\frac{2 a b}{a^{2}+b^{2}} \cdot y, \frac{2 a b}{a^{2}+b^{2}} \cdot x+\frac{b^{2}-a^{2}}{a^{2}+b^{2}} \cdot y\right), onde (a, b) é qualquer vetor na direção de r e (x, y) \in \mathbb{R}^{2}.

Passo 1

O enunciado define a reflexão
R_{r}: \mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2},
que a cada (x,y) associa
\biggl(\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}\,x+\frac{2ab}{a^{2}+b^{2}}\,y,\;\frac{2ab}{a^{2}+b^{2}}\,x+\frac{b^{2}-a^{2}}{a^{2}+b^{2}}\,y\biggr),
sendo (a,b) a direção da reta r que passa pela origem.
O conteúdo aqui é transformações lineares: precisamos verificar se R_{r}(u+v)=R_{r}(u)+R_{r}(v) e R_{r}(\lambda u)=\lambda R_{r}(u), ou então reconhecer que R_{r} é dada por multiplicação por uma matriz constante.

Passo 2

Reescrevemos R_{r} como
R_{r}(x,y) = A\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix},
onde
A = \frac{1}{a^{2}+b^{2}} \begin{pmatrix} a^{2}-b^{2} & 2ab \\[6pt] 2ab & b^{2}-a^{2} \end{pmatrix}.
Isso é válido pois, multiplicando a matriz A pelo vetor \bigl(x,y\bigr)^{T}, obtemos exatamente as duas coordenadas dadas na definição de R_{r}(x,y).]

Passo 3

Qualquer aplicação T:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} definida por
T(v)=A\,v
para uma matriz fixa A satisfaz
T(u+v)=A(u+v)=Au+Av=T(u)+T(v),
T(\lambda u)=A(\lambda u)=\lambda(Au)=\lambda\,T(u).
Portanto, R_{r} é linear.

Resposta

Sim, R_{r} é uma transformação linear.

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