Determine os autovalores e autovetores:
T: R^3 longrightarrow R^3, T(x, y, z)=(x+y+z, 2 y+z, 2 y+3 z)

Passo 1

O enunciado pede os autovalores e autovetores da transformação linear
T: R^3toR^3 dada por
T(x,y,z) = (,x+y+z,;2y+z,;2y+3z)
O conteúdo principal é encontrar a matriz de T na base canônica, calcular o polinômio característico det(A-lambda I), achar suas raízes (autovalores) e, para cada valor, resolver (A-lambda I)v=0 para obter os autovetores.

Passo 2

A matriz de T na base canônica e1,e2,e3 é
A = 1 & 1 & 1 0 & 2 & 1 0 & 2 & 3 ,
pois T(1,0,0)=(1,0,0), T(0,1,0)=(1,2,2) e T(0,0,1)=(1,1,3).

Passo 3

O polinômio característico é
chiA(lambda) = det(A - lambda I) = det 1-lambda & 1 & 1 [4pt] 0 & 2-lambda & 1 [4pt] 0 & 2 & 3-lambda = (1-lambda)l[(2-lambda)(3-lambda)-2r]
Expandindo,
(2-lambda)(3-lambda)-2 = lambda^2 -5lambda +4 = (lambda-1)(lambda-4),
logo
chiA(lambda) = (1-lambda)(lambda-1)(lambda-4) = -(lambda-1)^2(lambda-4)
Isso dá autovalores lambda=1 (multiplicidade algébrica 2) e lambda=4 (multiplicidade 1).]

Passo 4

Para resolvemos , isto é
Dessas equações vem e , logo . Assim

Passo 5

Para resolvemos , isto é
Dessa vez obtemos e não há condição sobre . Logo
e o espaço próprio é gerado por e .

Resposta

Autovalores e bases dos autovetores:
lambda1=4, com autovetor (1,1,2).
lambda2=1 (multiplicidade 2), com espaço próprio gerado por (1,0,0) e (0,1,-1).

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