Determine o valor do determinante da matriz A=(ccccc1 & 1 & 1 & 1 & 1 1 & 1 & 2 & 2 & 2 -1 & 1 & -1 & 1 & -1 2 & 4 & 1 & 2 & 4 1 & 1 & 1 & 1 & 3).
circ det(A)=0
O det(A)=1
-det(A)=2
-det(A)=3
O det (A) = 4

Passo 1

O enunciado pede o valor de det(A) da matriz
A = 1 & 1 & 1 & 1 & 1 1 & 1 & 2 & 2 & 2 -1 & 1 & -1 & 1 & -1 2 & 4 & 1 & 2 & 4 1 & 1 & 1 & 1 & 3
O conteúdo é cálculo de determinante de matriz (5times5). Vamos usar operações elementares de linha (que não alteram o determinante) para criar zeros e depois cofactores.

Passo 2

Usamos Ri Ri - k,R1 (ou R3 R3+R1) para zerar a primeira coluna abaixo de A11=1:
R2& R2 - R1 = (0,0,1,1,1), R3& R3 + R1 = (0,2,0,2,0), R4& R4 - 2R1 = (0,2,-1,0,2), R5& R5 - R1 = (0,0,0,0,2)
O determinante permanece o mesmo. A matriz vira
1 & 1 & 1 & 1 & 1 0 & 0 & 1 & 1 & 1 0 & 2 & 0 & 2 & 0 0 & 2 & -1 & 0 & 2 0 & 0 & 0 & 0 & 2

Passo 3

Expandindo por cofactor na primeira coluna (onde só o elemento ,A11=1 é não-nulo),
det(A) ;=; 1;times;det(M),
onde M é o sub-determinante 4times4 das linhas 2–5 e colunas 2–5:
M = 0 & 1 & 1 & 1 2 & 0 & 2 & 0 2 & -1 & 0 & 2 0 & 0 & 0 & 2

Passo 4

No 4times4 M, expandimos por cofactor na quarta linha (único não-zero em M4,4=2):
det(M) ;=; 2 ;times; det! 0 & 1 & 1 2 & 0 & 2 2 & -1 & 0 ;=; 2,det(N),
com
N = 0 & 1 & 1 2 & 0 & 2 2 & -1 & 0

Passo 5

Calculamos det(N) por expansão na primeira linha:
det(N) = 0cdotdet!0&2-1&0 -1cdotdet!2&22&0 +1cdotdet!2&02&-1
Aqui
det2&22&0=-4 e
det2&02&-1=-2.
Logo
det(N)= -1cdot(-4)+1cdot(-2)=4-2=2
Assim
det(M)=2cdot2=4 e portanto det(A)=4.

Resposta

det(A)=4

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