Determine os autovalores em função de \alpha:
x^{\prime}=\left(\begin{array}{rr}2 & -5 \\\ \alpha & -2\end{array}\right) x

Passo 1

O enunciado pede para determinar os autovalores em função de \alpha da matriz que aparece no sistema
x' = \begin{pmatrix}2 & -5 \\\ \alpha & -2\end{pmatrix}x.
Informações dadas que vamos usar:
A=\begin{pmatrix}2 & -5 \\\ \alpha & -2\end{pmatrix},
ou seja \,a_{11}=2,\;a_{12}=-5,\;a_{21}=\alpha,\;a_{22}=-2.
A tarefa: encontrar os valores de \lambda (autovalores) em função de \alpha.

Passo 2

O que é um autovalor? É um número \lambda tal que existe vetor não-nulo v com
A v = \lambda v.
Isto é equivalente a
(A-\lambda I)v=0,
e como queremos v\neq 0, a matriz A-\lambda I deve ser singular. Portanto os autovalores são as soluções da equação
\det(A-\lambda I)=0.
Aqui vou aplicar essa definição passo a passo.

Passo 3

Calculemos A-\lambda I. Subtraindo \lambda da diagonal obtemos
A-\lambda I=\begin{pmatrix}2-\lambda & -5 \\\ \alpha & -2-\lambda\end{pmatrix}.
Agora usamos a fórmula do determinante de uma matriz 2\times2:
\det\begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix}=ad-bc.
Vou aplicar isso ao determinante acima.

Passo 4

Compute o determinante:
\det(A-\lambda I)=(2-\lambda)(-2-\lambda)-(-5)\cdot\alpha.
Primeiro expandimos (2-\lambda)(-2-\lambda). Fazendo as multiplicações:
(2-\lambda)(-2-\lambda)=2(-2-\lambda)-\lambda(-2-\lambda)=-4-2\lambda+2\lambda+\lambda^{2}=\lambda^{2}-4.
Portanto o determinante fica
\det(A-\lambda I)=\lambda^{2}-4+5\alpha.

Passo 5

Impondo \det(A-\lambda I)=0 obtemos a equação característica:
\lambda^{2}-4+5\alpha=0.
Reorganizando,
\lambda^{2}+(5\alpha-4)=0.
Isolando \lambda^{2},
\lambda^{2}=4-5\alpha.
Como aqui não há termo em \lambda (coeficiente linear zero), as raízes são simplesmente os opostos da raiz quadrada. Assim:
\lambda=\pm\sqrt{4-5\alpha}.

Passo 6

Interpretação e casos importantes (úteis na prova):
  • Se \;4-5\alpha>0\; então \lambda_{1,2}=\pm\sqrt{4-5\alpha} são dois autovalores reais distintos.
  • Se \;4-5\alpha=0\; então \lambda_{1}=\lambda_{2}=0 é autovalor duplo.
  • Se \;4-5\alpha<0\; então \lambda_{1,2}=\pm i\sqrt{5\alpha-4} são complexos conjugados (veja que \sqrt{4-5\alpha}=i\sqrt{5\alpha-4} quando o radicando é negativo).
Exemplos rápidos para fixar:
  • Para \alpha=0: \lambda=\pm\sqrt{4}=\pm 2.
  • Para \alpha=\tfrac{4}{5}: \lambda=0 (duplo).
  • Para \alpha=1: \lambda=\pm i (complexos).

Passo 7

Atalho útil para matrizes 2\times2: os autovalores resolvem
\lambda^{2}-(\operatorname{tr}A)\lambda+\det A=0,
onde \operatorname{tr}A=a_{11}+a_{22} e \det A=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}.
Aqui \operatorname{tr}A=2+(-2)=0 e \det A=2\cdot(-2)-(-5)\alpha=5\alpha-4, o que leva à mesma equação
\lambda^{2}+(5\alpha-4)=0,
confirmando \lambda=\pm\sqrt{4-5\alpha}.

Resposta

\lambda_{1,2}=\pm\sqrt{4-5\alpha}

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