Determine os autovalores em função de
:
Passo 1
O enunciado pede para determinar os autovalores em função de
da matriz que aparece no sistema
Informações dadas que vamos usar:
ou seja
.
A tarefa: encontrar os valores de (autovalores) em função de
.
A tarefa: encontrar os valores de
Passo 2
O que é um autovalor? É um número
tal que existe vetor não-nulo
com
Isto é equivalente a
e como queremos
, a matriz
deve ser singular. Portanto os autovalores são as soluções da equação
Aqui vou aplicar essa definição passo a passo.
Passo 3
Calculemos
. Subtraindo
da diagonal obtemos
Agora usamos a fórmula do determinante de uma matriz
:
Vou aplicar isso ao determinante acima.
Passo 4
Compute o determinante:
Primeiro expandimos
. Fazendo as multiplicações:
Portanto o determinante fica
Passo 5
Impondo
obtemos a equação característica:
Reorganizando,
Isolando
,
Como aqui não há termo em
(coeficiente linear zero), as raízes são simplesmente os opostos da raiz quadrada. Assim:
Passo 6
Interpretação e casos importantes (úteis na prova):
- Se
então são dois autovalores reais distintos. - Se
então é autovalor duplo. - Se
então são complexos conjugados (veja que quando o radicando é negativo).
Exemplos rápidos para fixar:
- Para
: . - Para
: (duplo). - Para
: (complexos).
Passo 7
Atalho útil para matrizes
: os autovalores resolvem
onde
e
.
Aqui e
, o que leva à mesma equação
Aqui
confirmando
.