Pergunta: determinar explicitamente \mathbf{x}(t) para todo t.]
Passo 2
Escolha do método e ideia geral (explicação didática).
Para sistemas lineares com matriz de coeficientes constante (aqui A), um método direto e padrão é buscar autovalores (valores próprios) e autovetores da matriz A. A razão: se v é um autovetor com autovalor \lambda, isto é A v=\lambda v, então a função \mathbf{x}(t)=e^{\lambda t}v satisfaz \mathbf{x}'=A\mathbf{x}. Assim soluções da forma e^{\lambda t}v aparecem naturalmente, e combinando soluções independentes obtemos a solução geral. Vou usar esse método passo a passo.
Observação sobre notação:
\lambda denota um autovalor (número escalar).
v denota um autovetor (vetor não-nulo) associado a \lambda.
c_1,c_2 serão constantes a ajustar pela condição inicial.
Passo 3
Encontrar os autovalores de A (explicação e cálculo).
Autovalores são soluções do polinômio característico \det(A-\lambda I)=0. Aqui I é a matriz identidade 2\times2. Calculamos:
Resolvendo \begin{pmatrix}1 & -1 \\[4pt] 3 & -3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_1 \\[4pt] v_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\[4pt] 0\end{pmatrix}:
a primeira equação dá v_1-v_2=0, ou seja v_1=v_2. A segunda é múltipla da primeira, portanto não traz informação nova. Podemos escolher v_1=1 então v_2=1. Assim um autovetor associado a \lambda_1=1 é
v^{(1)}=\begin{pmatrix}1 \\[4pt] 1\end{pmatrix}.
Nota: qualquer múltiplo não-nulo de v^{(1)} também serve; escolhemos esse por simplicidade.]
Passo 5
Encontrar um autovetor para \lambda_2=-1 (explicação e cálculo).
Autovetores associados a \lambda=-1 satisfazem (A+I)v=0. Calculamos:
Resolvendo \begin{pmatrix}3 & -1 \\[4pt] 3 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_1 \\[4pt] v_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\[4pt] 0\end{pmatrix}:
a equação é 3v_1-v_2=0, ou seja v_2=3v_1. Tomando v_1=1 obtemos v_2=3. Logo um autovetor associado a \lambda_2=-1 é
v^{(2)}=\begin{pmatrix}1 \\[4pt] 3\end{pmatrix}.]
Passo 6
Escrever a solução geral usando os autovalores e autovetores (explicação).
Como \lambda_1=1 com autovetor v^{(1)} e \lambda_2=-1 com autovetor v^{(2)}, a solução geral do sistema é combinação linear das soluções exponenciais:
onde c_1 e c_2 são constantes a determinar pela condição inicial. Explicando: cada termo e^{\lambda t}v satisfaz a equação homogênea, e para sistemas de dimensão 2 com autovetores linearmente independentes a combinação linear dá toda a família de soluções.]
Passo 7
Aplicar a condição inicial para determinar c_1\) e \(c_2\) (cálculo passo a passo).
Impor \(\mathbf{x}(0)=\begin{pmatrix}2 \\[4pt] -1\end{pmatrix}\). Em \(t=0\) temos \(e^{0}=1\), então
\[c_1\begin{pmatrix}1 \\[4pt] 1\end{pmatrix}+c_2\begin{pmatrix}1 \\[4pt] 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 \\[4pt] -1\end{pmatrix}.