1. Resolva o problema de valor inicial
\mathbf{x}^{\prime}=\left(\begin{array}{ll} 2 & -1 \\\\ 3 & -2 \end{array}\right) \mathbf{x}, \quad \mathbf{x}(0)=\binom{2}{-1}

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear de ODEs com condição inicial. O que ele pede é: encontrar a solução \mathbf{x}(t) do problema de valor inicial
\mathbf{x}^{\prime}=\begin{pmatrix}2 & -1 \\[4pt] 3 & -2\end{pmatrix}\mathbf{x},\qquad \mathbf{x}(0)=\begin{pmatrix}2 \\[4pt] -1\end{pmatrix}.
Informações dadas:
A=\begin{pmatrix}2 & -1 \\[4pt] 3 & -2\end{pmatrix},\qquad \mathbf{x}(0)=\begin{pmatrix}2 \\[4pt] -1\end{pmatrix}.
Pergunta: determinar explicitamente \mathbf{x}(t) para todo t.]

Passo 2

Escolha do método e ideia geral (explicação didática).
Para sistemas lineares com matriz de coeficientes constante (aqui A), um método direto e padrão é buscar autovalores (valores próprios) e autovetores da matriz A. A razão: se v é um autovetor com autovalor \lambda, isto é A v=\lambda v, então a função \mathbf{x}(t)=e^{\lambda t}v satisfaz \mathbf{x}'=A\mathbf{x}. Assim soluções da forma e^{\lambda t}v aparecem naturalmente, e combinando soluções independentes obtemos a solução geral. Vou usar esse método passo a passo.
Observação sobre notação:
  • \lambda denota um autovalor (número escalar).
  • v denota um autovetor (vetor não-nulo) associado a \lambda.
  • c_1,c_2 serão constantes a ajustar pela condição inicial.

Passo 3

Encontrar os autovalores de A (explicação e cálculo).
Autovalores são soluções do polinômio característico \det(A-\lambda I)=0. Aqui I é a matriz identidade 2\times2. Calculamos:
\det\big(A-\lambda I\big)=\det\begin{pmatrix}2-\lambda & -1 \\[4pt] 3 & -2-\lambda\end{pmatrix}.
Usando a definição do determinante de 2\times2,
\det\big(A-\lambda I\big)=(2-\lambda)(-2-\lambda)-(-1)\cdot 3.
Desenvolvendo passo a passo:
(2-\lambda)(-2-\lambda)= -4 +\lambda^2,
pois 2\cdot(-2)=-4, os termos em \lambda se cancelam e sobra \lambda^2. Adicionando o +3 do produto dos off-diagonais:
\det\big(A-\lambda I\big) = (-4+\lambda^2)+3 = \lambda^2-1.
Portanto o polinômio característico é \lambda^2-1. As raízes são
\lambda^2-1=0\quad\Rightarrow\quad \lambda=\pm 1.
Então os autovalores são \lambda_1=1 e \lambda_2=-1.]

Passo 4

Encontrar um autovetor para \lambda_1=1 (explicação e cálculo).
Autovetores associados a \lambda=1 satisfazem (A-I)v=0. Escrevemos:
A-I=\begin{pmatrix}2-1 & -1 \\[4pt] 3 & -2-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & -1 \\[4pt] 3 & -3\end{pmatrix}.
Resolvendo \begin{pmatrix}1 & -1 \\[4pt] 3 & -3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_1 \\[4pt] v_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\[4pt] 0\end{pmatrix}:
a primeira equação dá v_1-v_2=0, ou seja v_1=v_2. A segunda é múltipla da primeira, portanto não traz informação nova. Podemos escolher v_1=1 então v_2=1. Assim um autovetor associado a \lambda_1=1 é
v^{(1)}=\begin{pmatrix}1 \\[4pt] 1\end{pmatrix}.
Nota: qualquer múltiplo não-nulo de v^{(1)} também serve; escolhemos esse por simplicidade.]

Passo 5

Encontrar um autovetor para \lambda_2=-1 (explicação e cálculo).
Autovetores associados a \lambda=-1 satisfazem (A+I)v=0. Calculamos:
A+I=\begin{pmatrix}2+1 & -1 \\[4pt] 3 & -2+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 & -1 \\[4pt] 3 & -1\end{pmatrix}.
Resolvendo \begin{pmatrix}3 & -1 \\[4pt] 3 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_1 \\[4pt] v_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\[4pt] 0\end{pmatrix}:
a equação é 3v_1-v_2=0, ou seja v_2=3v_1. Tomando v_1=1 obtemos v_2=3. Logo um autovetor associado a \lambda_2=-1 é
v^{(2)}=\begin{pmatrix}1 \\[4pt] 3\end{pmatrix}.]

Passo 6

Escrever a solução geral usando os autovalores e autovetores (explicação).
Como \lambda_1=1 com autovetor v^{(1)} e \lambda_2=-1 com autovetor v^{(2)}, a solução geral do sistema é combinação linear das soluções exponenciais:
\mathbf{x}(t)=c_1 e^{\lambda_1 t} v^{(1)} + c_2 e^{\lambda_2 t} v^{(2)} = c_1 e^{t}\begin{pmatrix}1 \\[4pt] 1\end{pmatrix} + c_2 e^{-t}\begin{pmatrix}1 \\[4pt] 3\end{pmatrix},
onde c_1 e c_2 são constantes a determinar pela condição inicial. Explicando: cada termo e^{\lambda t}v satisfaz a equação homogênea, e para sistemas de dimensão 2 com autovetores linearmente independentes a combinação linear dá toda a família de soluções.]

Passo 7

Aplicar a condição inicial para determinar c_1\) e \(c_2\) (cálculo passo a passo). Impor \(\mathbf{x}(0)=\begin{pmatrix}2 \\[4pt] -1\end{pmatrix}\). Em \(t=0\) temos \(e^{0}=1\), então \[c_1\begin{pmatrix}1 \\[4pt] 1\end{pmatrix}+c_2\begin{pmatrix}1 \\[4pt] 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 \\[4pt] -1\end{pmatrix}.
Isto dá o sistema linear para c_1,c_2:
\begin{cases} c_1 + c_2 = 2,\\[4pt] c_1 + 3c_2 = -1. \end{cases}
Subtraindo a primeira equação da segunda obtemos
(c_1+3c_2)-(c_1+c_2)= -1-2 \quad\Rightarrow\quad 2c_2 = -3.
Logo c_2=-\dfrac{3}{2}\]. Substituindo em \(c_1+c_2=2:
c_1 = 2 - c_2 = 2 -\left(-\dfrac{3}{2}\right)=2+\dfrac{3}{2}=\dfrac{7}{2}.]

Passo 8

Escrever a solução final explicitamente (componentes, forma prática).
Substituindo c_1=\dfrac{7}{2} e c_2=-\dfrac{3}{2} na expressão geral:
\mathbf{x}(t)=\frac{7}{2}e^{t}\begin{pmatrix}1 \\[4pt] 1\end{pmatrix}-\frac{3}{2}e^{-t}\begin{pmatrix}1 \\[4pt] 3\end{pmatrix}.
Separando componentes para ficar bem claro:
x_1(t)=\frac{7}{2}e^{t}-\frac{3}{2}e^{-t}, \qquad x_2(t)=\frac{7}{2}e^{t}-\frac{9}{2}e^{-t}.
Você pode checar rápido em t=0: x_1(0)=\tfrac{7}{2}-\tfrac{3}{2}=2 e x_2(0)=\tfrac{7}{2}-\tfrac{9}{2}=-1, que coincide com a condição inicial.]

Resposta

\mathbf{x}(t)=\frac{7}{2}e^{t}\begin{pmatrix}1 \\[4pt] 1\end{pmatrix}-\frac{3}{2}e^{-t}\begin{pmatrix}1 \\[4pt] 3\end{pmatrix}
x_1(t)=\frac{7}{2}e^{t}-\frac{3}{2}e^{-t},\qquad x_2(t)=\frac{7}{2}e^{t}-\frac{9}{2}e^{-t}]

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