Pergunta explícita: quais são os autovalores (ou valores próprios) de A expressos em termos de \alpha?
Informações relevantes dadas: os coeficientes da matriz A são a_{11}=0, a_{12}=-5, a_{21}=1 e a_{22}=\alpha. Nada mais foi fornecido.]
Passo 2
O que é um autovalor e como o vamos achar (aula rápida e prática).
Definição: \emph{autovalores} \lambda de uma matriz A são os escalares tais que existe um vetor não nulo v satisfazendo
A v = \lambda v.
Reescrevendo, isso dá
(A - \lambda I)v = 0,
onde I é a matriz identidade. Para existir solução não trivial v\neq 0 o determinante de A-\lambda I deve ser zero:
\det(A-\lambda I)=0.
Essa equação é chamada de equação característica e, no caso de uma matriz 2\times2, resulta numa equação quadrática em \lambda. Vou usar essa estratégia — é a mais direta para matrizes 2\times2.
Passo 3
Calcular explicitamente \det(A-\lambda I). Primeiro escrevo A-\lambda I:
Resolver a quadrática e explicar a fórmula (passo-a-passo).
A equação é da forma geral a\lambda^{2}+b\lambda+c=0 com a=1, b=-\alpha e c=5. A fórmula quadrática diz que as raízes são
Cada símbolo explicado: \lambda é o autovalor que procuramos; \alpha é o parâmetro dado; o discriminante é \alpha^{2}-20 e determina a natureza das raízes (reais distintas, real dupla ou complexas conjugadas).
Passo 5
Interpretação e exemplos rápidos para você decorar e usar na prova.
Se \alpha^{2}-20>0 (isto é, |\alpha|>2\sqrt{5}), as duas soluções são reais e distintas.
Se \alpha^{2}-20=0 (isto é, \alpha=\pm 2\sqrt{5}), há autovalor real duplo \lambda=\alpha/2.
Se \alpha^{2}-20<0 (isto é, |\alpha|<2\sqrt{5}), as soluções são complexas conjugadas.
Exemplo concreto: para \alpha=0 temos \lambda=\pm\sqrt{-20}/2=\pm i\sqrt{5}. Para \alpha=6 temos \lambda=(6\pm\sqrt{36-20})/2=(6\pm4)/2, ou seja \lambda_{1}=5 e \lambda_{2}=1.