Determine os autovalores em função de \alpha:
x=\left(\begin{array}{rr}0 & -5 \\\\ 1 & \alpha\end{array}\right) x

Passo 1

O enunciado pede para determinar os autovalores em função de \alpha da matriz
A=\begin{pmatrix}0 & -5\\[4pt] 1 & \alpha\end{pmatrix}.
Pergunta explícita: quais são os autovalores (ou valores próprios) de A expressos em termos de \alpha?
Informações relevantes dadas: os coeficientes da matriz A são a_{11}=0, a_{12}=-5, a_{21}=1 e a_{22}=\alpha. Nada mais foi fornecido.]

Passo 2

O que é um autovalor e como o vamos achar (aula rápida e prática).
Definição: \emph{autovalores} \lambda de uma matriz A são os escalares tais que existe um vetor não nulo v satisfazendo
A v = \lambda v.
Reescrevendo, isso dá
(A - \lambda I)v = 0,
onde I é a matriz identidade. Para existir solução não trivial v\neq 0 o determinante de A-\lambda I deve ser zero:
\det(A-\lambda I)=0.
Essa equação é chamada de equação característica e, no caso de uma matriz 2\times2, resulta numa equação quadrática em \lambda. Vou usar essa estratégia — é a mais direta para matrizes 2\times2.

Passo 3

Calcular explicitamente \det(A-\lambda I). Primeiro escrevo A-\lambda I:
A-\lambda I = \begin{pmatrix}0-\lambda & -5\\[4pt] 1 & \alpha-\lambda\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\lambda & -5\\[4pt] 1 & \alpha-\lambda\end{pmatrix}.
Determinante de uma matriz 2\times2 dada por \begin{pmatrix}a&b\\\ c&d\end{pmatrix} é ad-bc. Aplicando aqui,
\det(A-\lambda I)=(-\lambda)(\alpha-\lambda)-(-5)(1).
Faço as operações com calma:
(-\lambda)(\alpha-\lambda) = -\lambda\alpha + \lambda^{2},
e
-(-5)(1)=+5.
Somando:
\det(A-\lambda I)=\lambda^{2}-\alpha\lambda+5.
A equação característica é, portanto,
\lambda^{2}-\alpha\lambda+5=0.]

Passo 4

Resolver a quadrática e explicar a fórmula (passo-a-passo).
A equação é da forma geral a\lambda^{2}+b\lambda+c=0 com a=1, b=-\alpha e c=5. A fórmula quadrática diz que as raízes são
\lambda=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
Substituo a, b e c:
\lambda=\frac{-(-\alpha)\pm\sqrt{(-\alpha)^{2}-4\cdot1\cdot5}}{2\cdot1}.
Simplificando passo a passo:
-(-\alpha)=\alpha,
(-\alpha)^{2}=\alpha^{2},
4\cdot1\cdot5=20.
Logo
\lambda=\frac{\alpha\pm\sqrt{\alpha^{2}-20}}{2}.
Cada símbolo explicado: \lambda é o autovalor que procuramos; \alpha é o parâmetro dado; o discriminante é \alpha^{2}-20 e determina a natureza das raízes (reais distintas, real dupla ou complexas conjugadas).

Passo 5

Interpretação e exemplos rápidos para você decorar e usar na prova.
  • Se \alpha^{2}-20>0 (isto é, |\alpha|>2\sqrt{5}), as duas soluções são reais e distintas.
  • Se \alpha^{2}-20=0 (isto é, \alpha=\pm 2\sqrt{5}), há autovalor real duplo \lambda=\alpha/2.
  • Se \alpha^{2}-20<0 (isto é, |\alpha|<2\sqrt{5}), as soluções são complexas conjugadas.
    Exemplo concreto: para \alpha=0 temos \lambda=\pm\sqrt{-20}/2=\pm i\sqrt{5}. Para \alpha=6 temos \lambda=(6\pm\sqrt{36-20})/2=(6\pm4)/2, ou seja \lambda_{1}=5 e \lambda_{2}=1.

Resposta

\lambda_{1}=\dfrac{\alpha+\sqrt{\alpha^{2}-20}}{2}
\lambda_{2}=\dfrac{\alpha-\sqrt{\alpha^{2}-20}}{2}

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