Defina f^{\prime}\left(x_{0}\right). Discuta as duas maneiras de interpretar esse número.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: definir f^{\prime}(x_{0}) e discutir duas maneiras de interpretar esse número.
Informações dadas (implícitas no enunciado): a função f é uma função real (domínio e imagem em \mathbb{R}) e há um ponto x_{0} do domínio onde queremos saber o que é f^{\prime}(x_{0}). Não há outros dados numéricos; a tarefa é conceitual e exemplificativa.

Passo 2

Definição formal (a que você deve escrever numa prova). A derivada de f no ponto x_{0} é o limite do quociente incremental, se esse limite existir:
f^{\prime}(x_{0})=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}.
Explicando cada símbolo:
  • f é a função dada.
  • x_{0} é o ponto onde queremos a derivada.
  • h é um pequeno incremento em x.
  • \dfrac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h} é a razão entre a variação de f quando x varia de x_{0} para x_{0}+h e o próprio incremento h.
    Se esse limite existir (e for finito), dizemos que f é diferenciável em x_{0} e o valor do limite é f^{\prime}(x_{0}).
Observação prática: uma forma equivalente e às vezes mais conveniente é escrever o limite com a variável x tendendo a x_{0}:
f^{\prime}(x_{0})=\lim_{x\to x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}.

Passo 3

Primeira interpretação — geométrica (a mais frequente em provas): inclinação da reta tangente.
  • Pense nas retas secantes que passam pelos pontos \big(x_{0},f(x_{0})\big) e \big(x_{0}+h,f(x_{0}+h)\big). A inclinação dessa secante é exatamente o quociente
m_{\text{secante}}(h)=\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}.
  • Quando h\to 0 as secantes “giram” e tendem a uma reta limite, se esse limite existe. A inclinação da reta limite é f^{\prime}(x_{0}). Essa reta limite é a reta tangente ao gráfico de f no ponto \big(x_{0},f(x_{0})\big).
  • A equação da reta tangente (forma ponto-inclinação) fica
y=f(x_{0})+f^{\prime}(x_{0})\big(x-x_{0}\big).
Exemplo concreto (para ver como aplicar isso na prova): f(x)=x^{2} em x_{0}=1. Calcule o quociente e o limite:
\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\frac{(1+h)^{2}-1^{2}}{h}=\frac{1+2h+h^{2}-1}{h}=\frac{2h+h^{2}}{h}=2+h,
logo
f^{\prime}(1)=\lim_{h\to0}(2+h)=2.
Interpretação geométrica: a reta tangente ao gráfico de y=x^{2} em x=1 tem inclinação 2 e equação y=1+2(x-1).

Passo 4

Segunda interpretação — taxa instantânea de variação / melhor aproximação linear.
  • Taxa média de variação entre x_{0} e x_{0}+h é \dfrac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}. O limite quando h\to0 dá a taxa instantânea de variação em x_{0}, que é f^{\prime}(x_{0}). Em física, se f for posição s(t), então s'(t) é a velocidade instantânea. Por exemplo, se s(t)=t^{2}, então a velocidade em t=1 é s'(1)=2.
  • Melhor aproximação linear: quando h é pequeno, f(x_{0}+h) pode ser aproximado por uma reta (a tangente):
f(x_{0}+h)\approx f(x_{0})+f^{\prime}(x_{0})\,h.
Mais precisamente, existe um resto r(h) tal que
f(x_{0}+h)=f(x_{0})+f^{\prime}(x_{0})\,h+r(h), \qquad\text{com}\qquad \frac{r(h)}{h}\to0\\ \text{quando }h\to0.
Aqui r(h)=o(h) significa “ r(h) é muito menor que h” — esta é a ideia do termo resto de ordem superior. Na prática de prova e de exame essa aproximação é extremamente útil para estimar valores ou para linearizar problemas.
Exemplo numérico rápido do uso da aproximação: com f(x)=x^{2} e x_{0}=1, para h=0,1,
f(1+0,1)\approx f(1)+f'(1)\cdot0,1=1+2\cdot0,1=1,2,
o valor exato é 1,21, a aproximação já é bastante próxima.

Passo 5

Dicas de cálculo em prova (como aplicar a definição sem perder tempo):
  • Escreva o quociente \dfrac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}.
  • Tente algebrizar/simplificar (fatorar, racionalizar, cancelar h) antes de tomar o limite h\to0. Isso evita forma indeterminada \tfrac{0}{0}. O exemplo f(x)=x^{2} acima ilustra isso: cancelando h obtemos 2+x_{0} quando se faz o cálculo genérico.
  • Se a simplificação não for óbvia, tente reconhecer derivadas padrão (potências, exponencial, trigonometria) e aplicar regras já conhecidas — mas em prova, se pedirem a definição, mostre o limite.

Passo 6

Quando a derivada não existe (observações práticas que valem pontos na prova):
  • Se o limite do quociente não existir ou for infinito, dizemos que f^{\prime}(x_{0}) não existe. Exemplos rápidos:
    • f(x)=|x| em x_{0}=0: as inclinações das secantes pela esquerda e direita são -1 e +1, o limite não existe → sem derivada em 0 (canto).
    • f(x)=\sqrt[3]{x} em x_{0}=0: o quociente tende a infinito (reta vertical), fala-se em tangente vertical; tecnicamente f^{\prime}(0) não é finito.
  • Importante: diferenciabilidade implica continuidade: se f^{\prime}(x_{0}) existe então f é contínua em x_{0}. A recíproca não vale (ex.: f(x)=|x| é contínua em 0 mas não diferenciável lá).

Passo 7

Recapitulando e motivando: na prova, comece escrevendo a definição em forma de limite; explique rapidamente (se pedir interpretação) que é a inclinação da tangente e que também é a taxa instantânea de variação/best linear approximation; faça um exemplo simples (como x^{2}) para mostrar o cálculo passo a passo; comente se a derivada existe ou não e por quê. Você consegue — respira fundo e aplica a definição com calma.

Resposta

\displaystyle f^{\prime}(x_{0})=\lim_{h\to0}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h} (se o limite existir).
Interpretações: (i) geométrica — f^{\prime}(x_{0}) é a inclinação da reta tangente ao gráfico de f em \big(x_{0},f(x_{0})\big) e a reta tangente tem equação y=f(x_{0})+f^{\prime}(x_{0})(x-x_{0}); (ii) taxa instantânea / aproximação linear — f^{\prime}(x_{0}) é o limite das taxas médias \dfrac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}} e fornece a melhor aproximação linear f(x_{0}+h)\approx f(x_{0})+f^{\prime}(x_{0})h quando h é pequeno.

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