Defina
. Discuta as duas maneiras de interpretar esse número.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: definir
e discutir duas maneiras de interpretar esse número.
Informações dadas (implícitas no enunciado): a função é uma função real (domínio e imagem em
) e há um ponto
do domínio onde queremos saber o que é
. Não há outros dados numéricos; a tarefa é conceitual e exemplificativa.
Informações dadas (implícitas no enunciado): a função
Passo 2
Definição formal (a que você deve escrever numa prova). A derivada de
no ponto
é o limite do quociente incremental, se esse limite existir:
Explicando cada símbolo:
-
é a função dada. -
é o ponto onde queremos a derivada. -
é um pequeno incremento em . -
é a razão entre a variação de quando varia de para e o próprio incremento .
Se esse limite existir (e for finito), dizemos queé diferenciável em e o valor do limite é .
Observação prática: uma forma equivalente e às vezes mais conveniente é escrever o limite com a variável
tendendo a
:
Passo 3
Primeira interpretação — geométrica (a mais frequente em provas): inclinação da reta tangente.
- Pense nas retas secantes que passam pelos pontos
e . A inclinação dessa secante é exatamente o quociente
- Quando
as secantes “giram” e tendem a uma reta limite, se esse limite existe. A inclinação da reta limite é . Essa reta limite é a reta tangente ao gráfico de no ponto . - A equação da reta tangente (forma ponto-inclinação) fica
Exemplo concreto (para ver como aplicar isso na prova):
em
. Calcule o quociente e o limite:
logo
Interpretação geométrica: a reta tangente ao gráfico de
em
tem inclinação
e equação
.
Passo 4
Segunda interpretação — taxa instantânea de variação / melhor aproximação linear.
- Taxa média de variação entre
e é . O limite quando dá a taxa instantânea de variação em , que é . Em física, se for posição , então é a velocidade instantânea. Por exemplo, se , então a velocidade em é . - Melhor aproximação linear: quando
é pequeno, pode ser aproximado por uma reta (a tangente):
Mais precisamente, existe um resto
tal que
Aqui
significa “
é muito menor que
” — esta é a ideia do termo resto de ordem superior. Na prática de prova e de exame essa aproximação é extremamente útil para estimar valores ou para linearizar problemas.
Exemplo numérico rápido do uso da aproximação: com
e
, para
,
o valor exato é
, a aproximação já é bastante próxima.
Passo 5
Dicas de cálculo em prova (como aplicar a definição sem perder tempo):
- Escreva o quociente
. - Tente algebrizar/simplificar (fatorar, racionalizar, cancelar
) antes de tomar o limite . Isso evita forma indeterminada . O exemplo acima ilustra isso: cancelando obtemos quando se faz o cálculo genérico. - Se a simplificação não for óbvia, tente reconhecer derivadas padrão (potências, exponencial, trigonometria) e aplicar regras já conhecidas — mas em prova, se pedirem a definição, mostre o limite.
Passo 6
Quando a derivada não existe (observações práticas que valem pontos na prova):
- Se o limite do quociente não existir ou for infinito, dizemos que
não existe. Exemplos rápidos: -
em : as inclinações das secantes pela esquerda e direita são e , o limite não existe → sem derivada em (canto). -
em : o quociente tende a infinito (reta vertical), fala-se em tangente vertical; tecnicamente não é finito.
-
- Importante: diferenciabilidade implica continuidade: se
existe então é contínua em . A recíproca não vale (ex.: é contínua em mas não diferenciável lá).
Passo 7
Recapitulando e motivando: na prova, comece escrevendo a definição em forma de limite; explique rapidamente (se pedir interpretação) que é a inclinação da tangente e que também é a taxa instantânea de variação/best linear approximation; faça um exemplo simples (como
) para mostrar o cálculo passo a passo; comente se a derivada existe ou não e por quê. Você consegue — respira fundo e aplica a definição com calma.
Resposta
Interpretações: (i) geométrica —