Determine a e b de modo que f(x)=ccx^2, & x<1 a x+b, & x >= 1 seja diferenciável em x=1.

Passo 1

O enunciado define
f(x)= x^2, & x<1, a,x+b, & x>=1,
e pede que f seja diferenciável em x=1. Para isso precisamos de dois requisitos em x=1:
  1. Continuidade de f.
  2. Existência e igualdade das derivadas laterais.

Passo 2

Impondo continuidade em x=1, igualamos o valor à esquerda com o valor à direita:
limxto1^-f(x)=1^2=1,
f(1)=acdot1+b=a+b
Logo,
a+b=1

Passo 3

Para diferenciabilidade, as derivadas laterais em x=1 devem coincidir. Calculamos:
f'(x)= 2x, & x<1, a, & x>1
Assim,
f'(1^-)=2cdot1=2, f'(1^+)=a
Igualando,
a=2

Passo 4

Substituindo a=2 na condição de continuidade a+b=1, obtemos
2+b=1 Longrightarrow b=1-2=-1

Resposta

a=2, b=-1

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