Sejam v1=(x1, y1) e v2=(x2, y2) vetores de R^2, definimos o seguinte produto interno
<v1, v2>=2 x1 x2+x1 y2+x2 y1+y1 y2
(a) Verifique se a base beta=(0,1),(1,2) é ortogonal.
(b) A partir da base beta, encontre uma base ortonormal beta^prime de R^2, em relação ao produto interno definido.

Passo 1

O enunciado define em R^2 o produto interno
lang<= (x1,y1),(x2,y2)rang<= = 2x1x2 + x1y2 + x2y1 + y1y2
e pede:
(a) verificar se a base beta=(0,1),(1,2) é ortogonal;
(b) a partir de beta, obter uma base ortonormal beta' usando esse produto interno.

Passo 2

Para verificar ortogonalidade, calculamos
lang<= (0,1),(1,2)rang<= = 2cdot0cdot1 + 0cdot2 + 1cdot1 + 1cdot2 = 1 + 2 = 3

Passo 3

Como lang<=(0,1),(1,2)rang<= = 3 neq 0, a base beta não é ortogonal.

Passo 4

Agora aplicamos o processo de Gram–Schmidt em beta. Definimos
u1 = v1 = (0,1)
Calculamos sua norma:
|u1| = raizlang<= u1,u1rang<= = raiz2cdot0cdot0 + 0cdot1 + 0cdot1 + 1cdot1 = 1,
logo
e1 = u1|u1| = (0,1)

Passo 5

Tomamos v2=(1,2) e subtraímos a projeção em e1:
proje1(v2) = lang<= v2,e1rang<=,e1 = 3,(0,1) = (0,3)
Então
u2 = v2 - proje1(v2) = (1,2) - (0,3) = (1,-1)

Passo 6

Calculamos a norma de u2:
|u2| = raizlang<= u2,u2rang<= = raiz2cdot1cdot1 + 1cdot(-1) + 1cdot(-1) + (-1)cdot(-1) = raiz2 -1 -1 +1 = 1,
logo
e2 = u2|u2| = (1,-1)

Resposta

(a) A base beta não é ortogonal, pois lang<=(0,1),(1,2)rang<==3neq0.
(b) Uma base ortonormal em relação a esse produto interno é
beta' = (0,1),,(1,-1)

Exercícios relacionados