Seja f(x)=lll3-x2, & x<1 & 1raizx & x >= 1 & . f é diferenciável em x=1 ? f é contínua em x=1 ?

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(x)= 3-x2,&x<1, 1raizx,&x>=1,
e pede para verificar se f é contínua e diferenciável em x=1. O conteúdo necessário é o estudo de limites laterais para continuidade e de derivadas laterais para diferenciabilidade.

Passo 2

Para verificar a continuidade em x=1, usamos que é preciso
limxto1^-f(x)=limxto1^+f(x)=f(1)
Calculamos
limxto1^-f(x)=limxto1^-3-x2=3-12=1,
limxto1^+f(x)=limxto1^+1raizx=1raiz1=1,
e como
f(1)=1raiz1=1,
os três valores coincidem. Logo, f é contínua em x=1.

Passo 3

Para checar diferenciabilidade em x=1, comparamos as derivadas laterais.
No ramo x<1,
ddx3-x2=-12
No ramo x>=1, escrevendo f(x)=x^-1/2,
ddxx^-1/2=-12,x^-3/2,
que em x=1 vale -tfrac12. Como as derivadas laterais em 1 são iguais ( -tfrac12), concluímos que f é diferenciável em x=1.

Resposta

f é diferenciável em x=1? Sim.
f é contínua em x=1? Sim.

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