Seja g: R R uma função definida por f(t)=rr2 t+k, & se t >= 1, -t+2 k, & se t<1. Determine o valor da constante k para que f seja contínua em x=1.

Passo 1

O enunciado define uma função por partes em que f(t)=2t+k para t≥1 e f(t)=−t+2k para t<1. O tema é continuidade de função em um ponto, e vamos precisar usar a definição de continuidade em x=1, que exige que o limite à esquerda e à direita em 1 sejam iguais ao valor f(1).

Passo 2

Para t≥1, em particular em t=1, temos o valor da função dado pela primeira parte. Logo,
f(1)=2cdot1+k=2+k

Passo 3

Para t<1, o limite à esquerda em t=1 vem da segunda parte. Assim,
limtto1^-f(t)=-1+2k

Passo 4

Para que f seja contínua em x=1, exigimos
limtto1^-f(t)=f(1)

Passo 5

Substituindo as expressões obtemos
-1+2k=2+k

Passo 6

Resolvendo essa equação dá
2k-k=2+1 Rightarrow k=3

Resposta

k=3

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