Determine a e b de modo que a função

seja diferenciável.
Nesse caso, o valor de f(x)= a x+b & se x <= 2 3 x+1.4 cdot x cdot sen(x) & se x>2 será

Passo 1

Então, vamos resumir o que a gente precisa fazer aqui. Temos uma função definida por partes:
f(x) = a x + b & se x <= 2 3 x + 1.4 cdot x cdot sin(x) & se x > 2
O objetivo é encontrar os valores de $ a $ e $ b $ de modo que a função $ f(x) $ seja diferenciável em $ x = 2 $. Isso significa que a função precisa ser contínua nesse ponto e que as derivadas pelos lados esquerdo e direito de $ x = 2 $ devem ser iguais.

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que a função seja contínua em $ x = 2 $. Para isso, o limite da função quando $ x $ se aproxima de 2 pela esquerda deve ser igual ao limite quando $ x $ se aproxima de 2 pela direita, e ambos devem ser iguais ao valor da função em $ x = 2 $.
Vamos calcular o valor da função para $ x \leq 2 $:
x = 2
Agora, calculamos o limite quando $ x $ se aproxima de 2 pela direita:
x
Substituindo $ x = 2 $:
x
Para a continuidade:
x = 2

Passo 3

Agora, vamos garantir que a função seja diferenciável em $ x = 2 $. Para isso, as derivadas pelas duas partes da função em $ x = 2 $ devem ser iguais.
Primeiro, encontramos a derivada da parte $ x \leq 2 $:
x = 2
Agora, a derivada da parte $ x > 2 $:
x = 2
Avaliando em $ x = 2 $:
x <= 2
Para a diferenciabilidade:
f'(x) = a

Passo 4

Agora temos um sistema de duas equações para $ a $ e $ b $:
  1. $ 2a + b = 6 + 2.8 \cdot \sin(2) $
  2. $ a = 3 + 1.4 \cdot \sin(2) + 2.8 \cdot \cos(2) $
Vamos substituir o valor de $ a $ da segunda equação na primeira:
a
Calculando:
b
Isolando $ b $:
2a + b = 6 + 2.8 cdot sin(2)

Resposta

O valor de $ b $ é:
b

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