Determine
e
de modo que a função
seja diferenciável.
Nesse caso, o valor de
será
seja diferenciável.
Nesse caso, o valor de
Passo 1
Então, vamos resumir o que a gente precisa fazer aqui. Temos uma função definida por partes:
O objetivo é encontrar os valores de $ a $ e $ b $ de modo que a função $ f(x) $ seja diferenciável em $ x = 2 $. Isso significa que a função precisa ser contínua nesse ponto e que as derivadas pelos lados esquerdo e direito de $ x = 2 $ devem ser iguais.
Passo 2
Primeiro, vamos garantir que a função seja contínua em $ x = 2 $. Para isso, o limite da função quando $ x $ se aproxima de 2 pela esquerda deve ser igual ao limite quando $ x $ se aproxima de 2 pela direita, e ambos devem ser iguais ao valor da função em $ x = 2 $.
Vamos calcular o valor da função para $ x \leq 2 $:
Agora, calculamos o limite quando $ x $ se aproxima de 2 pela direita:
Substituindo $ x = 2 $:
Para a continuidade:
Passo 3
Agora, vamos garantir que a função seja diferenciável em $ x = 2 $. Para isso, as derivadas pelas duas partes da função em $ x = 2 $ devem ser iguais.
Primeiro, encontramos a derivada da parte $ x \leq 2 $:
Agora, a derivada da parte $ x > 2 $:
Avaliando em $ x = 2 $:
Para a diferenciabilidade:
Passo 4
Agora temos um sistema de duas equações para $ a $ e $ b $:
- $ 2a + b = 6 + 2.8 \cdot \sin(2) $
- $ a = 3 + 1.4 \cdot \sin(2) + 2.8 \cdot \cos(2) $
Vamos substituir o valor de $ a $ da segunda equação na primeira:
Calculando:
Isolando $ b $:
Resposta
O valor de $ b $ é: