Considere a Equação de Bessel
onde
é uma constate. Verifique que
é um ponto singular regular da EDO. Utilize o método de Frobenius para determinar uma solução em série para a EDO.
onde
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a Equação de Bessel, que é uma equação diferencial importante em várias áreas da matemática e física. A equação dada é:
Aqui, $ k \geq 0 $ é uma constante. Nosso objetivo é verificar que $ x = 0 $ é um ponto singular regular dessa equação e, em seguida, usar o método de Frobenius para encontrar uma solução em série. Para isso, vamos precisar entender o que são pontos singulares e como aplicar o método de Frobenius.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se $ x = 0 $ é um ponto singular regular. Em equações diferenciais, um ponto é chamado de ponto singular se os coeficientes da equação não são analíticos nesse ponto. Para verificar isso, reescrevemos a equação na forma padrão:
Aqui, os coeficientes
e
não são definidos em $ x = 0 $, então $ x = 0 $ é um ponto singular.
Passo 3
Agora, vamos conferir se esse ponto singular é regular. Um ponto singular é regular se, quando dividimos os coeficientes por $ x^{2} $, eles resultam em funções que são analíticas em $ x = 0 $. Olhando para a equação padrão:
Multiplicando por $ x^{2} $:
Ambas as expressões são analíticas em $ x = 0 $, então $ x = 0 $ é um ponto singular regular.
Passo 4
Com isso confirmado, vamos usar o método de Frobenius para encontrar uma solução em série. O método de Frobenius assume uma solução da forma:
Onde $ r $ é uma constante que determinaremos e $ a_{n} $ são os coeficientes da série.
Passo 5
Primeiro, precisamos encontrar o polinômio indicial, que nos ajuda a encontrar o valor de $ r $. Para isso, substituímos a solução assumida na equação diferencial e coletamos os termos de menor potência de $ x $.
Após substituir e simplificar, obtemos o polinômio indicial:
Resolvendo essa equação:
Passo 6
Escolhemos $ r = k $ (a escolha do sinal depende do contexto, mas vamos seguir com $ r = k $ para esta solução). Agora, substituímos $ y(x) = x^{k} \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n} $ na equação diferencial e igualamos os coeficientes de cada potência de $ x $ a zero para encontrar uma relação de recorrência para os coeficientes $ a_{n} $.
Passo 7
Depois de substituir e simplificar, obtemos a relação de recorrência:
Isso nos permite calcular os coeficientes $ a_{n} $ a partir de $ a_{0} $, que é uma constante arbitrária (normalmente tomada como 1 para simplificar).
Passo 8
Finalmente, escrevemos a solução em série usando os coeficientes determinados:
Onde cada $ a_{n} $ é calculado pela relação de recorrência encontrada.
Resposta
A solução em série da Equação de Bessel, usando o método de Frobenius, é:
Onde $ a_{0} $ é uma constante arbitrária e $ \Gamma $ é a função gama.