Considere a Equação de Bessel
x^2 y^prime prime+x y^prime+(x^2-k^2) y=0
onde k >= 0 é uma constate. Verifique que x=0 é um ponto singular regular da EDO. Utilize o método de Frobenius para determinar uma solução em série para a EDO.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a Equação de Bessel, que é uma equação diferencial importante em várias áreas da matemática e física. A equação dada é:
x^2 y'' + x y' + (x^2 - k^2) y = 0
Aqui, $ k \geq 0 $ é uma constante. Nosso objetivo é verificar que $ x = 0 $ é um ponto singular regular dessa equação e, em seguida, usar o método de Frobenius para encontrar uma solução em série. Para isso, vamos precisar entender o que são pontos singulares e como aplicar o método de Frobenius.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se $ x = 0 $ é um ponto singular regular. Em equações diferenciais, um ponto é chamado de ponto singular se os coeficientes da equação não são analíticos nesse ponto. Para verificar isso, reescrevemos a equação na forma padrão:
x = 0
Aqui, os coeficientes y'' + 1x y' + (1 - k^2x^2) y = 0 e 1x não são definidos em $ x = 0 $, então $ x = 0 $ é um ponto singular.

Passo 3

Agora, vamos conferir se esse ponto singular é regular. Um ponto singular é regular se, quando dividimos os coeficientes por $ x^{2} $, eles resultam em funções que são analíticas em $ x = 0 $. Olhando para a equação padrão:
x^2
Multiplicando por $ x^{2} $:
x = 0
Ambas as expressões são analíticas em $ x = 0 $, então $ x = 0 $ é um ponto singular regular.

Passo 4

Com isso confirmado, vamos usar o método de Frobenius para encontrar uma solução em série. O método de Frobenius assume uma solução da forma:
y(x) = x^r sumn=0^infty an x^n
Onde $ r $ é uma constante que determinaremos e $ a_{n} $ são os coeficientes da série.

Passo 5

Primeiro, precisamos encontrar o polinômio indicial, que nos ajuda a encontrar o valor de $ r $. Para isso, substituímos a solução assumida na equação diferencial e coletamos os termos de menor potência de $ x $.
Após substituir e simplificar, obtemos o polinômio indicial:
r
Resolvendo essa equação:
x

Passo 6

Escolhemos $ r = k $ (a escolha do sinal depende do contexto, mas vamos seguir com $ r = k $ para esta solução). Agora, substituímos $ y(x) = x^{k} \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n} $ na equação diferencial e igualamos os coeficientes de cada potência de $ x $ a zero para encontrar uma relação de recorrência para os coeficientes $ a_{n} $.

Passo 7

Depois de substituir e simplificar, obtemos a relação de recorrência:
an+2 = an(n + 2)(n + 2 + 2k)
Isso nos permite calcular os coeficientes $ a_{n} $ a partir de $ a_{0} $, que é uma constante arbitrária (normalmente tomada como 1 para simplificar).

Passo 8

Finalmente, escrevemos a solução em série usando os coeficientes determinados:
y(x) = x^k ( a0 + a1 x + a2 x^2 + a3 x^3 + dots )
Onde cada $ a_{n} $ é calculado pela relação de recorrência encontrada.

Resposta

A solução em série da Equação de Bessel, usando o método de Frobenius, é:
y(x) = x^k sumn=0^infty a0 x^2nn! , Gamma(n + k + 1)
Onde $ a_{0} $ é uma constante arbitrária e $ \Gamma $ é a função gama.

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