Questão 10

Ainda não respondida Vale 0,50 ponto(s).
Item (a) Calcule \int \ln \left(x^{2}+1\right) d x
Dica: use integração por partes, e depois note que \frac{x^{2}}{x^{2}+1}=1-\frac{1}{x^{2}+1}
Item (b) A partir do item (a) calcule
\int_{0}^{\sqrt{3}} \ln \left(x^{2}+1\right) d x e insira a sua resposta abaixo

Passo 1

O enunciado pede primeiro a antiderivada de \ln(x^2+1) (item (a)) e depois o valor do integral definido de 0 a \sqrt3 (item (b)). O método principal é integração por partes, e depois vamos usar a identidade
\frac{x^2}{x^2+1}=1-\frac{1}{x^2+1}.

Passo 2

Para calcular
\int \ln(x^2+1)\,dx
escolhemos em integração por partes:
u = \ln(x^2+1), \quad dv = dx.
Então
du = \frac{2x}{x^2+1}\,dx, \quad v = x.

Passo 3

Pela fórmula de partes,
\int u\,dv = uv - \int v\,du,
temos
\int \ln(x^2+1)\,dx = x\ln(x^2+1) - \int x\cdot\frac{2x}{x^2+1}\,dx = x\ln(x^2+1) - 2\int \frac{x^2}{x^2+1}\,dx.

Passo 4

Usando a dica,
\int \frac{x^2}{x^2+1}\,dx = \int\Bigl(1 - \frac{1}{x^2+1}\Bigr)\,dx = \int 1\,dx - \int \frac{1}{x^2+1}\,dx.

Passo 5

Calculemos cada parte:
\int 1\,dx = x, \qquad \int \frac{1}{x^2+1}\,dx = \arctan(x).
Logo
\int \frac{x^2}{x^2+1}\,dx = x - \arctan(x).

Passo 6

Substituindo em (3),
\int \ln(x^2+1)\,dx = x\ln(x^2+1) - 2\bigl(x - \arctan(x)\bigr) + C = x\ln(x^2+1) - 2x + 2\arctan(x) + C.

Passo 7

Agora definimos
F(x) = x\ln(x^2+1) - 2x + 2\arctan(x)
e calculamos
\int_{0}^{\sqrt3} \ln(x^2+1)\,dx = F(\sqrt3) - F(0).
Em x=\sqrt3 temos x^2+1=4 e \arctan(\sqrt3)=\tfrac\pi3, então
F(\sqrt3) = \sqrt3\ln4 - 2\sqrt3 + 2\cdot\frac\pi3 = \sqrt3\ln4 - 2\sqrt3 + \frac{2\pi}{3}.
Em x=0 todas as parcelas de F(0) são zero.

Resposta

(a) \displaystyle \int \ln(x^2+1)\,dx = x\ln(x^2+1) - 2x + 2\arctan(x) + C.
(b) \displaystyle \int_{0}^{\sqrt3} \ln(x^2+1)\,dx = \sqrt3\ln4 - 2\sqrt3 + \frac{2\pi}{3}.

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