No Exemplo 1.7, calculamos a taxa de perda de calor de um corpo humano no ar e na água. Aqui consideramos as mesmas condições, exceto a vizinhança (ar ou água) que se encontra a 10^{\circ} \mathrm{C}. Para reduzir a taxa de perda de calor, a pessoa veste roupas especiais esportivas (casacos para neve e impermeáveis) feitas com um isolante de aerogel de sílica nanoestruturado com uma condutividade térmica extremamente baixa, igual a 0,014 \mathrm{~W} /(\mathrm{m} \cdot \mathrm{K}). A emissividade da superficie externa dos casacos para neve e impermeáveis é de 0,95 . Qual espessura do isolante de aerogel é necessária para reduzir a taxa de perda de calor para 100 W (uma taxa de geração de calor metabólica típica) no ar e na água? Quais são as temperaturas resultantes da pele?

Passo 1

O enunciado quer saber qual espessura L de um isolante de aerogel (condutividade térmica k=0{,}014\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}) é necessária para que a taxa de perda de calor de um corpo humano caia para Q=100\\ \mathrm W, quando o meio ambiente (ar ou água) está a T_\infty=10{,}0\,^\circ\mathrm C. Além disso, pede as temperaturas de pele resultantes. Vamos modelar o problema como uma resistência térmica em série:
  1. Condução pelo aerogel, de resistência
R_{\rm cond} = \frac{L}{k\,A},
  1. Troca convectiva + radiação na face externa, de resistência
R_{\rm ext} = \frac{1}{h_{\rm conv} + h_{\rm rad}}.
A área de troca A do corpo humano tomamos como 1{,}8\\ \mathrm m^2. Assumimos que a pele se mantém em T_s=37\,^\circ\mathrm C para permitir o balanço de energia Q=100\\ \mathrm W.

Passo 2

Calcular o coeficiente efetivo de troca radiante linearizado h_{\rm rad}. Usamos
h_{\rm rad}\approx \varepsilon\,4\sigma T_m^3,
com \varepsilon=0{,}95, \sigma=5{,}67\times10^{-8}\\ \mathrm{W/m^2K^4} e T_m\approx (T_s+T_\infty)/2\approx(310+283)/2\approx296\\ \mathrm K.
h_{\rm rad}\approx 0{,}95\cdot4\cdot5{,}67\times10^{-8}\cdot(296)^3\approx5{,}6\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.

Passo 3

Somamos ao coeficiente convectivo h_{\rm conv} nos dois casos:
  • No ar: h_{\rm conv,air}=10\\ \mathrm{W/(m^2K)}.
  • Na água: h_{\rm conv,water}=500\\ \mathrm{W/(m^2K)} (valor típico).
    Logo
h_{\rm tot,air}=10+5{,}6=15{,}6\\ \mathrm{W/(m^2K)},\qquad h_{\rm tot,water}=500+5{,}6\approx505{,}6\\ \mathrm{W/(m^2K)}.

Passo 4

Para Q=100\\ \mathrm W em regime estacionário vale
Q = \frac{T_s - T_\infty}{R_{\rm cond}+R_{\rm ext}} =\frac{T_s - T_\infty}{\displaystyle \frac{L}{kA} + \frac1{h_{\rm tot}}}\,.
Rearranjando para L e usando T_s-T_\infty=37-10=27\\ \mathrm K e \frac{Q}{A}=100/1{,}8\approx55{,}6\\ \mathrm{W/m^2}, obtemos
L = k\Biggl[\frac{T_s - T_\infty}{Q/A}\;-\;\frac1{h_{\rm tot}}\Biggr].

Passo 5

Substituindo nos dois casos:
No ar:
L_{\rm air} =0{,}014\Bigl[\frac{27}{55{,}6}-\frac1{15{,}6}\Bigr] \approx0{,}014\bigl[0{,}486-0{,}0641\bigr] \approx5,9\times10^{-3}\\ \mathrm m =5,9\\ \mathrm{mm}.
Na água:
L_{\rm water} =0{,}014\Bigl[\frac{27}{55{,}6}-\frac1{505{,}6}\Bigr] \approx0{,}014\bigl[0{,}486-0{,}00198\bigr] \approx6,8\times10^{-3}\\ \mathrm m =6,8\\ \mathrm{mm}.

Passo 6

Como fixamos T_s=37\,^\circ\mathrm C para equilibrar Q=100\\ \mathrm W, essa é a temperatura de pele resultante em ambos os casos.

Resposta

Espessura do aerogel no ar: L_{\rm air}\approx5{,}9\\ \mathrm{mm}.
Espessura do aerogel na água: L_{\rm water}\approx6{,}8\\ \mathrm{mm}.
Temperatura de pele resultante em ambos os casos: T_s\approx37\,^\circ\mathrm C.

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