Determine a e b sabendo que as retas
r:(x, y, z)=(1, a, 0)+t(1,2,1) e s:l x=z-2 y=b z-1
são coplanares. Para os valores encontrados, determine uma equação geral para o plano que contém r e s.

Passo 1

O enunciado pede para achar
sejam coplanares. O conteúdo é posição relativa de retas no espaço: duas retas são coplanares se e só se ou elas se intersectam ou são paralelas. Vamos escrever (s] em forma paramétrica e impor uma dessas condições.

Passo 2

Parametrizando s usando z = u, temos
s: (x,y,z)=(-2,-1,0)+u,(1,b,1)
Assim a reta s tem ponto Ps=(-2,-1,0) e vetor diretor v2=(1,b,1). A reta r tem ponto Pr=(1,a,0) e vetor diretor v1=(1,2,1).

Passo 3

Para serem coplanares basta que ou exista solução do sistema Pr+t v1=Ps+u v2 (interseção) ou v1 e v2 sejam proporcionais (linhas paralelas). Tentando a interseção surge a contradição
t=u, 1+t=-2+uimplies3=0,
logo não pode intersectar. Sobrou a condição de paralelismo:
(1,2,1)=k,(1,b,1)Longrightarrow k=1,;b=2

Passo 4

Concluímos que
b=2 e (a) pode ser qualquer real,
pois para b=2 os vetores diretores coincidem e qualquer duas retas paralelas são coplanares.

Passo 5

Com b=2 temos
v=(1,2,1), Pr=(1,a,0), Ps=(-2,-1,0)
Um vetor que liga Pr a Ps é
w = Ps-Pr = (-3,,-1-a,,0)
Um vetor normal ao plano é
n = v times w = det i & j & k 1 & 2 & 1 -3 & -(1+a) & 0 =(1+a,,-3,;5-a)
A equação do plano é ncdotl((x,y,z)-(1,a,0)r)=0, ou seja
(1+a)(x-1)-3(y-a)+(5-a)(z-0)=0
Expandindo,
(1+a)x-3y+(5-a)z +(-1-a+3a)=0 ;Longrightarrow; (1+a)x-3y+(5-a)z +2a-1=0

Resposta

b=2 e a é livre (qualquer real).
Uma equação geral para o plano que contém r e s é
(1+a)x-3y+(5-a)z +2a-1=0

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