Determine o baricentro da superficie D limitada pela curva y=2 x^{2} e reta y=8, supondo-a de material homogêneo.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o baricentro (centro de massa / centroid) da superfície (lâmina) D limitada pela curva y=2x^{2} e pela reta y=8, supondo material homogêneo.
Informações do enunciado:
  • A fronteira inferior da região é a parábola y=2x^{2}.
  • A fronteira superior da região é a reta y=8.
  • A região é a parte do plano compreendida entre essas duas curvas.
  • O material é homogêneo (densidade constante), então o baricentro depende só da geometria da região.
O que é pedido:
  • As coordenadas do baricentro (\bar{x},\bar{y}) da região D.
Interseções / limites da região (dados extraídos do enunciado): as curvas se cruzam onde 2x^{2}=8, o que dá x=\pm 2. Logo D está entre x=-2 e x=2 e, para cada x entre esses valores, y varia de y=2x^{2} até y=8.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática):
  • Para uma lâmina de densidade uniforme, as coordenadas do baricentro são dadas por
\bar{x}=\frac{1}{A}\iint_{D} x\,dA,\qquad \bar{y}=\frac{1}{A}\iint_{D} y\,dA,
onde A é a área da região D e \iint_{D} denota a integral dupla sobre D.
  • Na prática é comum calcular essas integrais usando fatias verticais (ou horizontais). Aqui as curvas são dadas como y em função de x, então usamos fatias verticais: para cada x em [-2,2] a fatia tem altura 8-2x^{2} e espessura dx.
  • A área é então
A=\int_{x=-2}^{2} \bigl(\text{altura da fatia}\bigr)\,dx =\int_{-2}^{2}\bigl(8-2x^{2}\bigr)\,dx.
  • O momento em relação ao eixo x (necessário para \bar{y}) é
M_{x}=\iint_{D} y\,dA =\int_{-2}^{2}\left(\int_{y=2x^{2}}^{8} y\,dy\right)dx.
  • O momento em relação ao eixo y (para \bar{x}) seria
M_{y}=\iint_{D} x\,dA =\int_{-2}^{2} x\bigl(8-2x^{2}\bigr)\,dx.
Vou calcular A, M_{x} e M_{y} explicitamente e obter \bar{x}=M_{y}/A e \bar{y}=M_{x}/A.

Passo 3

Cálculo da área A. Montamos a integral:
A=\int_{-2}^{2}\bigl(8-2x^{2}\bigr)\,dx.
Observação: a função integranda é par (mesmo), então podemos calcular como 2 vezes a integral de 0 a 2:
A=2\int_{0}^{2}\bigl(8-2x^{2}\bigr)\,dx.
Agora calculamos a primitiva passo a passo:
  • Uma primitiva de 8 em x é 8x.
  • Uma primitiva de -2x^{2} em x é -2\cdot\frac{x^{3}}{3}=-\frac{2}{3}x^{3}.
    Portanto
\int_{0}^{2}\bigl(8-2x^{2}\bigr)\,dx=\left[8x-\frac{2}{3}x^{3}\right]_{0}^{2}.
Avaliaremos nos limites:
\left.8x-\frac{2}{3}x^{3}\right|_{0}^{2}=8\cdot 2-\frac{2}{3}\cdot 2^{3}=16-\frac{2}{3}\cdot 8=16-\frac{16}{3}=\frac{32}{3}.
Multiplicando por 2:
A=2\cdot\frac{32}{3}=\frac{64}{3}.

Passo 4

Cálculo do momento M_{x}=\iint_{D} y\,dA.
Primeiro fazemos a integral interna em y:
\int_{y=2x^{2}}^{8} y\,dy=\left.\frac{1}{2}y^{2}\right|_{2x^{2}}^{8} =\frac{1}{2}\bigl(8^{2}-(2x^{2})^{2}\bigr) =\frac{1}{2}\bigl(64-4x^{4}\bigr).
Simplificando:
\frac{1}{2}\bigl(64-4x^{4}\bigr)=32-2x^{4}.
Agora integramos em x de -2 a 2:
M_{x}=\int_{-2}^{2}\bigl(32-2x^{4}\bigr)\,dx.
Novamente a função integranda é par, então
M_{x}=2\int_{0}^{2}\bigl(32-2x^{4}\bigr)\,dx.
Calculamos primitivas:
  • Uma primitiva de 32 é 32x.
  • Uma primitiva de -2x^{4} é -2\cdot\frac{x^{5}}{5}=-\frac{2}{5}x^{5}.
    Portanto
\int_{0}^{2}\bigl(32-2x^{4}\bigr)\,dx=\left[32x-\frac{2}{5}x^{5}\right]_{0}^{2}.
Avaliação nos limites:
32\cdot 2-\frac{2}{5}\cdot 2^{5}=64-\frac{2}{5}\cdot 32=64-\frac{64}{5}=\frac{256}{5}.
Multiplicando por 2:
M_{x}=2\cdot\frac{256}{5}=\frac{512}{5}.

Passo 5

Cálculo de \bar{y} usando \bar{y}=M_{x}/A.
Substituindo os valores obtidos:
\bar{y}=\frac{M_{x}}{A}=\frac{\dfrac{512}{5}}{\dfrac{64}{3}}=\frac{512}{5}\cdot\frac{3}{64}.
Simplificando a fração:
\frac{512}{64}=8,
logo
\bar{y}=8\cdot\frac{3}{5}=\frac{24}{5}.
Em forma decimal, \bar{y}=4{,}8.

Passo 6

Cálculo de \bar{x}. Pelo aspecto da região vemos que D é simétrica em relação ao eixo y (a parábola y=2x^{2} é uma função par e a reta y=8 também é simétrica), portanto a distribuição de massa à esquerda e à direita do eixo y é igual. Assim o baricentro tem coordenada x nula:
\bar{x}=0.
Se quisermos ver isso por cálculo, usaríamos
M_{y}=\int_{-2}^{2} x\bigl(8-2x^{2}\bigr)\,dx,
e a integranda x(8-2x^{2}) é uma função ímpar, logo a integral sobre [-2,2] é zero, dando M_{y}=0 e \bar{x}=M_{y}/A=0.

Resposta

(\bar{x},\bar{y})=\left(0,\dfrac{24}{5}\right)

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