Determine o baricentro da superficie D limitada pela curva y=2 x^{2} e reta y=8, supondo-a de material homogêneo.
Passo 1
O enunciado pede para determinar o baricentro (centro de massa / centroid) da superfície (lâmina) D limitada pela curva y=2x^{2} e pela reta y=8, supondo material homogêneo.
Informações do enunciado:
A fronteira inferior da região é a parábola y=2x^{2}.
A fronteira superior da região é a reta y=8.
A região é a parte do plano compreendida entre essas duas curvas.
O material é homogêneo (densidade constante), então o baricentro depende só da geometria da região.
O que é pedido:
As coordenadas do baricentro (\bar{x},\bar{y}) da região D.
Interseções / limites da região (dados extraídos do enunciado): as curvas se cruzam onde 2x^{2}=8, o que dá x=\pm 2. Logo D está entre x=-2 e x=2 e, para cada x entre esses valores, y varia de y=2x^{2} até y=8.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática):
Para uma lâmina de densidade uniforme, as coordenadas do baricentro são dadas por
onde A é a área da região D e \iint_{D} denota a integral dupla sobre D.
Na prática é comum calcular essas integrais usando fatias verticais (ou horizontais). Aqui as curvas são dadas como y em função de x, então usamos fatias verticais: para cada x em [-2,2] a fatia tem altura 8-2x^{2} e espessura dx.
A área é então
A=\int_{x=-2}^{2} \bigl(\text{altura da fatia}\bigr)\,dx =\int_{-2}^{2}\bigl(8-2x^{2}\bigr)\,dx.
O momento em relação ao eixo x (necessário para \bar{y}) é
Cálculo de \bar{x}. Pelo aspecto da região vemos que D é simétrica em relação ao eixo y (a parábola y=2x^{2} é uma função par e a reta y=8 também é simétrica), portanto a distribuição de massa à esquerda e à direita do eixo y é igual. Assim o baricentro tem coordenada x nula:
\bar{x}=0.
Se quisermos ver isso por cálculo, usaríamos
M_{y}=\int_{-2}^{2} x\bigl(8-2x^{2}\bigr)\,dx,
e a integranda x(8-2x^{2}) é uma função ímpar, logo a integral sobre [-2,2] é zero, dando M_{y}=0 e \bar{x}=M_{y}/A=0.