Determine o baricentro de uma região compacta D contida no plano cartesiano.

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar o baricentro (centro de massa, assumindo densidade uniforme) de uma região compacta D no plano cartesiano.
Informações dadas: apenas que D é uma região compacta do plano (ou seja, limitada e fechada).
O objetivo claro: escrever as fórmulas que permitem calcular as coordenadas do baricentro de D em termos de integrais, e explicar como aplicá‑las passo a passo.

Passo 2

Definição e ideia física (passo a passo): o baricentro é o ponto (\bar{x},\bar{y}) onde se concentra a massa se a lâmina ocupando D tiver densidade uniforme. Matematicamente, a ideia é calcular os momentos em relação aos eixos e dividir pela massa total (ou área, no caso de densidade unitária). Assim precisamos de três quantidades:
A=\iint_{D} dA \quad\text{(área de \(D\))}á
M_x=\iint_{D} y\,dA \quad\text{(momento em relação ao eixo \(x\))}çã
M_y=\iint_{D} x\,dA \quad\text{(momento em relação ao eixo \(y\))}çã
As coordenadas do baricentro são dadas por
\bar{x}=\frac{M_y}{A}=\frac{\iint_{D} x\,dA}{\iint_{D} dA},\qquad \bar{y}=\frac{M_x}{A}=\frac{\iint_{D} y\,dA}{\iint_{D} dA}.
Explicando: A é a “massa” total (já que densidade é 1), M_y é a medida de quanto a massa está deslocada em x (por isso aparece x dentro da integral), e M_x mede o deslocamento em y.

Passo 3

Como transformar as integrais duplas em integrais iteradas (caso típico tipo I): suponha que D pode ser descrita como
D=\{(x,y)\mid a\le x\le b,\; g_1(x)\le y\le g_2(x)\}.
Então a área é
A=\iint_{D} dA=\int_{a}^{b}\bigl(g_2(x)-g_1(x)\bigr)\,dx.
O momento M_y é
M_y=\iint_{D} x\,dA=\int_{a}^{b}\!x\left(\int_{g_1(x)}^{g_2(x)} dy\right)dx =\int_{a}^{b} x\bigl(g_2(x)-g_1(x)\bigr)\,dx.
O momento M_x é
M_x=\iint_{D} y\,dA=\int_{a}^{b}\left(\int_{g_1(x)}^{g_2(x)} y\,dy\right)dx =\int_{a}^{b}\frac{g_2(x)^2-g_1(x)^2}{2}\,dx.
Portanto, para uma região tipo I:
\bar{x}=\frac{\int_{a}^{b} x\bigl(g_2(x)-g_1(x)\bigr)\,dx}{\int_{a}^{b}\bigl(g_2(x)-g_1(x)\bigr)\,dx}, \qquad \bar{y}=\frac{\int_{a}^{b}\frac{g_2(x)^2-g_1(x)^2}{2}\,dx}{\int_{a}^{b}\bigl(g_2(x)-g_1(x)\bigr)\,dx}.
Expliquei cada passo da integração: a integral interna em y para dA dá a altura g_2-g_1; para y\,dA integra y e dá \tfrac{1}{2}(g_2^2-g_1^2).

Passo 4

Se D for uma região tipo II, descrita por
D=\{(x,y)\mid c\le y\le d,\; h_1(y)\le x\le h_2(y)\},
procedemos de forma análoga trocando papéis de x e y. Então
A=\int_{c}^{d}\bigl(h_2(y)-h_1(y)\bigr)\,dy,
M_x=\iint_{D} y\,dA=\int_{c}^{d} y\bigl(h_2(y)-h_1(y)\bigr)\,dy,
M_y=\iint_{D} x\,dA=\int_{c}^{d}\frac{h_2(y)^2-h_1(y)^2}{2}\,dy,
e as coordenadas ficam
\bar{x}=\frac{\int_{c}^{d}\frac{h_2(y)^2-h_1(y)^2}{2}\,dy}{\int_{c}^{d}\bigl(h_2(y)-h_1(y)\bigr)\,dy}, \qquad \bar{y}=\frac{\int_{c}^{d} y\bigl(h_2(y)-h_1(y)\bigr)\,dy}{\int_{c}^{d}\bigl(h_2(y)-h_1(y)\bigr)\,dy}.

Passo 5

Atalhos úteis em provas (sempre confira hipóteses): se D tem simetria:
  • simetria em relação à reta x=x_0 implica \bar{x}=x_0;
  • simetria em relação à reta y=y_0 implica \bar{y}=y_0;
  • se D tem simetria radial ou em torno da origem, o baricentro pode ser o próprio centro de simetria.
    Esses atalhos economizam integrais quando aplicáveis.

Passo 6

Generalização para densidade variável: se a lâmina tem densidade \rho(x,y), substituímos as integrais por integrais ponderadas. A massa total é
M=\iint_{D}\rho(x,y)\,dA,
e as coordenadas do centro de massa são
\bar{x}=\frac{1}{M}\iint_{D} x\,\rho(x,y)\,dA,\qquad \bar{y}=\frac{1}{M}\iint_{D} y\,\rho(x,y)\,dA.
Mesmo raciocínio, só que cada ponto contribui com peso \rho.

Passo 7

Exemplo concreto e computacional (retângulo) — vou mostrar passo a passo para você ver como aplicar na prova. Seja D=\{(x,y)\mid 0\le x\le a,\;0\le y\le b\}. Então
A=\int_{0}^{a}(b-0)\,dx=ab.
M_y=\int_{0}^{a} x(b)\,dx=b\int_{0}^{a} x\,dx=b\cdot\frac{a^{2}}{2}=\frac{ba^{2}}{2}.
M_x=\int_{0}^{a}\frac{b^{2}-0^{2}}{2}\,dx=\frac{b^{2}}{2}\int_{0}^{a}dx=\frac{ab^{2}}{2}.
Logo
\bar{x}=\frac{M_y}{A}=\frac{\frac{ba^{2}}{2}}{ab}=\frac{a}{2},\qquad \bar{y}=\frac{M_x}{A}=\frac{\frac{ab^{2}}{2}}{ab}=\frac{b}{2}.
Resultado intuitivo: o baricentro do retângulo fica no ponto central (a/2,b/2). Isso confirma a fórmula e o método.

Passo 8

Resumo prático (o que fazer numa prova):
  1. Identifique se dá para descrever D como tipo I (fixando x) ou tipo II (fixando y).
  2. Calcule A pela integral apropriada.
  3. Calcule M_y=\iint_D x\,dA e M_x=\iint_D y\,dA transformando em integrais simples.
  4. Divida para obter \bar{x}=M_y/A e \bar{y}=M_x/A.
    Use simetrias sempre que possível para poupar cálculo. Vai dar certo — respira e segue o passo a passo.

Resposta

\bar{x}=\frac{\iint_{D} x\,dA}{\iint_{D} dA},\qquad \bar{y}=\frac{\iint_{D} y\,dA}{\iint_{D} dA}.
Se D=\{(x,y)\mid a\le x\le b,\;g_1(x)\le y\le g_2(x)\}, então
\bar{x}=\frac{\int_{a}^{b} x\bigl(g_2(x)-g_1(x)\bigr)\,dx}{\int_{a}^{b}\bigl(g_2(x)-g_1(x)\bigr)\,dx}, \qquad \bar{y}=\frac{\int_{a}^{b}\frac{g_2(x)^2-g_1(x)^2}{2}\,dx}{\int_{a}^{b}\bigl(g_2(x)-g_1(x)\bigr)\,dx}.

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