Determine o baricentro de uma região compacta
contida no plano cartesiano.
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar o baricentro (centro de massa, assumindo densidade uniforme) de uma região compacta
no plano cartesiano.
Informações dadas: apenas que é uma região compacta do plano (ou seja, limitada e fechada).
O objetivo claro: escrever as fórmulas que permitem calcular as coordenadas do baricentro de em termos de integrais, e explicar como aplicá‑las passo a passo.
Informações dadas: apenas que
O objetivo claro: escrever as fórmulas que permitem calcular as coordenadas do baricentro de
Passo 2
Definição e ideia física (passo a passo): o baricentro é o ponto
onde se concentra a massa se a lâmina ocupando
tiver densidade uniforme. Matematicamente, a ideia é calcular os momentos em relação aos eixos e dividir pela massa total (ou área, no caso de densidade unitária). Assim precisamos de três quantidades:
As coordenadas do baricentro são dadas por
Explicando:
é a “massa” total (já que densidade é 1),
é a medida de quanto a massa está deslocada em
(por isso aparece
dentro da integral), e
mede o deslocamento em
.
Passo 3
Como transformar as integrais duplas em integrais iteradas (caso típico tipo I): suponha que
pode ser descrita como
Então a área é
O momento
é
O momento
é
Portanto, para uma região tipo I:
Expliquei cada passo da integração: a integral interna em
para
dá a altura
; para
integra
e dá
.
Passo 4
Se
for uma região tipo II, descrita por
procedemos de forma análoga trocando papéis de
e
. Então
e as coordenadas ficam
Passo 5
Atalhos úteis em provas (sempre confira hipóteses): se
tem simetria:
- simetria em relação à reta
implica ; - simetria em relação à reta
implica ; - se
tem simetria radial ou em torno da origem, o baricentro pode ser o próprio centro de simetria.
Esses atalhos economizam integrais quando aplicáveis.
Passo 6
Generalização para densidade variável: se a lâmina tem densidade
, substituímos as integrais por integrais ponderadas. A massa total é
e as coordenadas do centro de massa são
Mesmo raciocínio, só que cada ponto contribui com peso
.
Passo 7
Exemplo concreto e computacional (retângulo) — vou mostrar passo a passo para você ver como aplicar na prova. Seja
. Então
Logo
Resultado intuitivo: o baricentro do retângulo fica no ponto central
. Isso confirma a fórmula e o método.
Passo 8
Resumo prático (o que fazer numa prova):
- Identifique se dá para descrever
como tipo I (fixando ) ou tipo II (fixando ). - Calcule
pela integral apropriada. - Calcule
e transformando em integrais simples. - Divida para obter
e .
Use simetrias sempre que possível para poupar cálculo. Vai dar certo — respira e segue o passo a passo.
Resposta
Se
, então