Calcule o momento de inércia de um retângulo em relação ao eixo paralelo ao suporte de sua altura e conduzido pelo centro do retângulo.

Passo 1

O enunciado pede o momento de inércia de um retângulo em relação a um eixo que: (1) é paralelo ao suporte da sua altura (ou seja, paralelo ao lado de comprimento igual à altura do retângulo) e (2) passa pelo centro do retângulo.
Informações dadas (explicitadas para organizar):
  • O retângulo tem base (largura) de comprimento b.
  • O retângulo tem altura de comprimento h.
  • A massa total do retângulo (ou lâmina homogênea) é M.
  • O eixo pedido é paralelo à altura — isto é, paralelo ao lado de comprimento h — e atravessa o centro do retângulo.
    O que devemos encontrar: uma fórmula para o momento de inércia (em função de M, b e h) em relação a esse eixo central paralelo à altura.

Passo 2

Escolhemos um sistema de coordenadas para montar integrais de forma simples: colocamos o centro do retângulo na origem (0,0). Então:
  • o eixo horizontal x varia de -\tfrac{b}{2} a \tfrac{b}{2} (esse é o sentido da base),
  • o eixo vertical y varia de -\tfrac{h}{2} a \tfrac{h}{2} (esse é o sentido da altura).
    O eixo cujo momento queremos é paralelo ao eixo y e passa pela origem (ou seja, é exatamente o eixo y neste sistema). Em outras palavras, a distância de um ponto (x,y) até o eixo é |x|. Vamos trabalhar com x^2 mais adiante, então o sinal desaparece.

Passo 3

Breve revisão do conceito usado: o momento de inércia de uma lâmina plana (espessura desprezível), de densidade superficial constante \sigma (massa por unidade de área), em relação a um eixo que fica no plano e é paralelo ao eixo y, é dado por integrar r^2\,dm, onde r é a distância do elemento de massa dm ao eixo. Para nosso eixo (eixo y) temos r=|x|, então o integrando será x^2. Formalmente:
I = \iint_{A} x^2 \, dm.
Como a lâmina é homogênea, dm=\sigma\,dA e \sigma é constante com
\sigma = \frac{M}{\text{área}} = \frac{M}{b\,h}.á
Portanto
I = \sigma \iint_{A} x^2 \, dA.
Aqui dA = dx\,dy. Vou explicar cada termo: x^2 mede o quadrado da distância ao eixo; integrar sobre A soma a contribuição de todas as partes; multiplicar por \sigma transforma área em massa.

Passo 4

Escrevemos a integral dupla com os limites da nossa configuração (retângulo centrado na origem):
I = \sigma \int_{y=-\tfrac{h}{2}}^{\tfrac{h}{2}} \left(\int_{x=-\tfrac{b}{2}}^{\tfrac{b}{2}} x^2 \, dx \right) dy.
Explico a ordem: primeiro integramos em x para cada faixa horizontal (isso é conveniente porque o integrando depende só de x), depois integramos em y ao longo da altura. Como o integrando interno não depende de y, a integral em y vai apenas multiplicar pelo comprimento h.

Passo 5

Calculamos a integral interna em x. Use a primitiva de x^2, que é \tfrac{x^3}{3}:
\int_{x=-\tfrac{b}{2}}^{\tfrac{b}{2}} x^2 \, dx = \left[\tfrac{x^3}{3}\right]_{-\tfrac{b}{2}}^{\tfrac{b}{2}} = \frac{1}{3}\left(\left(\tfrac{b}{2}\right)^3 - \left(-\tfrac{b}{2}\right)^3\right).
Como \left(-\tfrac{b}{2}\right)^3 = -\left(\tfrac{b}{2}\right)^3, a diferença é duas vezes:
\frac{1}{3}\left(2\left(\tfrac{b}{2}\right)^3\right) = \frac{2}{3}\cdot \frac{b^3}{8} = \frac{b^3}{12}.
Portanto a integral em x vale \tfrac{b^3}{12}.

Passo 6

Agora voltamos à integral dupla. Como a integral interna deu \tfrac{b^3}{12} e não depende de y, a integral em y é simplesmente multiplicar por h:
\iint_A x^2\,dA = \left(\int_{y=-\tfrac{h}{2}}^{\tfrac{h}{2}} dy\right)\left(\int_{x=-\tfrac{b}{2}}^{\tfrac{b}{2}} x^2 dx\right) = h \cdot \frac{b^3}{12} = \frac{b^3 h}{12}.
Agora multiplicamos por \sigma:
I = \sigma \cdot \frac{b^3 h}{12}.

Passo 7

Substituímos \sigma = \dfrac{M}{b h} na expressão anterior:
I = \frac{M}{b h} \cdot \frac{b^3 h}{12}.
Cancele b h com b^3 h: b^3 h/(b h) = b^2. Assim obtemos
I = \frac{M b^2}{12}.
Interpretação rápida: o momento de inércia depende apenas da dimensão perpendicular ao eixo (a base b), e cresce com b^2 (mais massa longe do eixo aumenta I).

Passo 8

Verificações rápidas (intuição): unidades: [I]= massa × comprimento ^2 — aqui [M b^2] bate. Casos limites: se b\to0 (hastes muito finas na direção x) espera-se I\to0, e a fórmula dá isso. Tudo consistente. Respira, você conseguiu — é sempre esse tipo de integral dupla com simetria!

Resposta

I=\frac{1}{12} M b^{2}

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