Determine o baricentro do triângulo ABC , sendo A(-2,4), B(1,2) e C(4,-3) de massas respectivas m_{A}=4, m_{B}=1 e m_{c}=2.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o baricentro do triângulo ABC.
Dados fornecidos:
A(-2,4), B(1,2), C(4,-3).
Massas em cada vértice: m_{A}=4, m_{B}=1, m_{C}=2.
Pergunta: encontrar as coordenadas do baricentro (centro de massa) do sistema formado por esses três pontos com as massas dadas.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática):
Quando temos um conjunto de massas pontuais em pontos do plano, o baricentro (centro de massa) G tem coordenadas dadas pela média ponderada das coordenadas, isto é:
\vec{G}=\frac{1}{M}\sum_{i} m_i \vec{r}_i
onde:
  • m_i é a massa no ponto i,
  • \vec{r}_i é o vetor posição do ponto i (no plano, \vec{r}_i=(x_i,y_i)),
  • M=\sum_i m_i é a massa total.
    Na prática, isso significa calcular separadamente as coordenadas x_G e y_G por:
x_G=\frac{m_A x_A + m_B x_B + m_C x_C}{M},\qquad y_G=\frac{m_A y_A + m_B y_B + m_C y_C}{M}.
Cada termo m_A x_A é a contribuição da massa m_A multiplicada pela abscissa x_A do ponto A. Vamos aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Calcular a massa total M:
M=m_A+m_B+m_C = 4 + 1 + 2 = 7.

Passo 4

Calcular a coordenada x_G usando a fórmula da média ponderada:
x_G=\frac{m_A x_A + m_B x_B + m_C x_C}{M}.
Substituindo os valores: x_A=-2, x_B=1, x_C=4,
x_G=\frac{4\cdot(-2) + 1\cdot 1 + 2\cdot 4}{7}.
Agora faça as multiplicações e soma passo a passo:
4\cdot(-2)=-8,\quad 1\cdot 1=1,\quad 2\cdot 4=8.
Somando:
-8 + 1 + 8 = 1.
Portanto
x_G=\frac{1}{7}.

Passo 5

Calcular a coordenada y_G pelo mesmo procedimento:
y_G=\frac{m_A y_A + m_B y_B + m_C y_C}{M}.
Substituindo y_A=4, y_B=2, y_C=-3,
y_G=\frac{4\cdot 4 + 1\cdot 2 + 2\cdot (-3)}{7}.
Multiplicando:
4\cdot 4 = 16,\quad 1\cdot 2 = 2,\quad 2\cdot(-3)=-6.
Somando:
16 + 2 - 6 = 12.
Portanto
y_G=\frac{12}{7}.

Passo 6

Conclusão e dica para prova: as coordenadas do baricentro são as frações obtidas acima. Na prova, lembre-se de calcular primeiro a massa total, depois calcular separadamente a média ponderada das abscissas e das ordenadas. Se preferir, transforme em decimais para checar: \frac{1}{7}\approx0{,}1429 e \frac{12}{7}\approx1{,}7143.

Resposta

\left(\dfrac{1}{7},\dfrac{12}{7}\right)

Exercícios relacionados