Determine uma base e a dimensão para cada um dos seguintes subespaços.
Passo 1
O enunciado pede para determinar uma base e a dimensão do subespaço
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- Cada vetor de
tem as três componentes iguais, e essa componente comum é um escalar . - Precisa-se dar uma base (um conjunto de vetores que gera
e é linearmente independente) e a dimensão (o número de vetores de uma base).
Passo 2
Mostrar de forma curta que
é gerado por um vetor simples.
Qualquer elemento de tem a forma
. Posso escrever esse vetor como múltiplo escalar de um vetor fixo:
Qualquer elemento de
Portanto todo vetor de
é uma combinação linear do vetor
. Em notação de subespaços:
Explicação didática: a operação
significa "todos os múltiplos escalares de
". Aqui fica claro que escolher o vetor
já alcança todos os elementos de
.
Passo 3
Verificar que
gera
.
Já mostramos que qualquer é
, logo
. Isso prova que o conjunto
é gerador de
.
Já mostramos que qualquer
Passo 4
Mostrar que
é linearmente independente.
Definição curta: um conjunto com um só vetor é linearmente independente se e só se
. Aqui
, então o conjunto é linearmente independente.
Definição curta: um conjunto com um só vetor
Para ver de forma algébrica: suponha que exista
tal que
Isso significa
, então
. Como o único coeficiente que dá a combinação nula é
, o vetor é independente.
Passo 5
Concluir que
é uma base de
.
Porque já mostrámos duas coisas essenciais:
Porque já mostrámos duas coisas essenciais:
- gera
(Passo 3), - é linearmente independente (Passo 4).
Logo é uma base.
Observação prática e útil para a prova: qualquer vetor não nulo paralelo a
também funciona como base única, por exemplo
ou
. Mas a forma canônica e mais simples é
.
Passo 6
Determinar a dimensão de
.
Definição: a dimensão de um subespaço é o número de vetores em qualquer base. A base que encontramos tem exatamente um vetor, portanto
Definição: a dimensão de um subespaço é o número de vetores em qualquer base. A base que encontramos tem exatamente um vetor, portanto
Interpretação:
é uma reta (uma sub-reta através da origem) no espaço
.
Resposta
Base:
Dimensão:
Dimensão: