Determine uma base e a dimensão para cada um dos seguintes subespaços.
W=\{(x, x, x) ; x \in R\}

Passo 1

O enunciado pede para determinar uma base e a dimensão do subespaço
W=\{(x,x,x);\;x\in\mathbb{R}\}.
Informações relevantes fornecidas:
  • Cada vetor de W tem as três componentes iguais, e essa componente comum é um escalar x\in\mathbb{R}.
  • Precisa-se dar uma base (um conjunto de vetores que gera W e é linearmente independente) e a dimensão (o número de vetores de uma base).

Passo 2

Mostrar de forma curta que W é gerado por um vetor simples.
Qualquer elemento de W tem a forma (x,x,x). Posso escrever esse vetor como múltiplo escalar de um vetor fixo:
(x,x,x)=x\,(1,1,1).
Portanto todo vetor de W é uma combinação linear do vetor (1,1,1). Em notação de subespaços:
W=\operatorname{span}\{(1,1,1)\}.
Explicação didática: a operação \operatorname{span}\{v\} significa "todos os múltiplos escalares de v". Aqui fica claro que escolher o vetor (1,1,1) já alcança todos os elementos de W.

Passo 3

Verificar que \{(1,1,1)\} gera W.
Já mostramos que qualquer (x,x,x)\in W é x\,(1,1,1), logo \operatorname{span}\{(1,1,1)\}=W. Isso prova que o conjunto \{(1,1,1)\} é gerador de W.

Passo 4

Mostrar que \{(1,1,1)\} é linearmente independente.
Definição curta: um conjunto com um só vetor v é linearmente independente se e só se v\neq(0,0,0). Aqui (1,1,1)\neq(0,0,0), então o conjunto é linearmente independente.
Para ver de forma algébrica: suponha que exista \alpha\in\mathbb{R} tal que
\alpha\,(1,1,1)=(0,0,0).
Isso significa (\alpha,\alpha,\alpha)=(0,0,0), então \alpha=0. Como o único coeficiente que dá a combinação nula é \alpha=0, o vetor é independente.

Passo 5

Concluir que \{(1,1,1)\} é uma base de W.
Porque já mostrámos duas coisas essenciais:
  • gera W (Passo 3),
  • é linearmente independente (Passo 4).
    Logo é uma base.
Observação prática e útil para a prova: qualquer vetor não nulo paralelo a (1,1,1) também funciona como base única, por exemplo \{(2,2,2)\} ou \{(-1,-1,-1)\}. Mas a forma canônica e mais simples é \{(1,1,1)\}.

Passo 6

Determinar a dimensão de W.
Definição: a dimensão de um subespaço é o número de vetores em qualquer base. A base que encontramos tem exatamente um vetor, portanto
\dim(W)=1.
Interpretação: W é uma reta (uma sub-reta através da origem) no espaço \mathbb{R}^3.

Resposta

Base: \{(1,1,1)\}
Dimensão: \dim(W)=1

Exercícios relacionados