Determine uma base e a dimensão de cada um dos subespaços abaixo.
C=(x, y, z) in R^3 ; x=3 y e z=-y

Passo 1

O enunciado pede a base e a dimensão do subespaço
C = (x,y,z)inR^3 mid x = 3y e z = -y
O conteúdo aqui é reconhecer as restrições lineares, parametrizar o subespaço e então extrair uma base e a dimensão.

Passo 2

Usamos y como parâmetro, digamos y = t com tinR. Então
x = 3y = 3t, z = -y = -t,
logo todo vetor em C pode ser escrito como
(x,y,z) = (3t,,t,,-t) = t,(3,1,-1)

Passo 3

Da expressão (x,y,z)=t,(3,1,-1) vemos que
C = ,t,(3,1,-1)mid tinR = span(3,1,-1)
Portanto uma base de C é (3,1,-1) e a dimensão de C é 1.

Resposta

Base: (3,1,-1)
Dimensão: 1

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