Determine
integral 1raize^2 x-1 d x

Passo 1

O enunciado pede a antiderivada
integral 1raize^2x-1,dx
Vamos usar uma substituição trigonométrica para transformar a expressão de dentro da raiz num quadrado perfeito.

Passo 2

Fazemos a troca
e^x = sectheta
Então
e^2x = sec^2theta,
e^2x-1 = sec^2theta -1 = tan^2theta,
e também
x = ln(sectheta)Longrightarrow dx = tantheta,dtheta

Passo 3

Substituindo no integral, temos
raize^2x-1 = raiztan^2theta = tantheta
(e como estamos na região em que e^x>=1, tomamos tantheta>=0). Assim
integral 1raize^2x-1,dx = integral 1tantheta,l(tantheta,dthetar) = integral dtheta = theta + C

Passo 4

Desfazendo a substituição, . Uma forma equivalente usa a relação , o que dá

Resposta

integral 1raize^2x-1,dx = arccosl(e^-xr) + C

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