Determine uma base e a dimensão de cada um dos subespaços de M(3 \times 3) abaixo:
UBS: U traço de uma matrız e a soma dos elementos de sua diagonal prıncıpal.
(a) Matrizes Simétricas.
Passo 1
O enunciado pede: determinar uma base e a dimensão do subespaço das matrizes simétricas de M(3\times3). Informação dada e o que precisamos encontrar:
Espaço ambiente: M(3\times3), as matrizes 3\times3 (assumiremos entradas em \mathbb{R}).
Subespaço em questão: todas as matrizes A\in M(3\times3) tais que A é simétrica.
O que é solicitado explicitamente:
Encontrar um conjunto de matrizes que forme uma base desse subespaço (ou seja, um conjunto que gere o subespaço e seja linearmente independente).
Determinar a dimensão do subespaço (número de elementos da base).
Nada mais será usado do enunciado.
Passo 2
Definição e forma geral de uma matriz simétrica.
Uma matriz A é simétrica quando vale \,A^{T}=A. Isso significa que o elemento na linha i, coluna j é igual ao elemento na linha j, coluna i para todo i,j.
Escrevendo a forma geral de uma matriz simétrica 3\times3, introduzimos seis variáveis (porque os elementos abaixo da diagonal são iguais aos correspondentes acima da diagonal):
A=\begin{pmatrix} a & d & e \\\ d & b & f \\\ e & f & c \end{pmatrix},
onde a,b,c,d,e,f\in\mathbb{R}.
Explicação: os três elementos a,b,c são os da diagonal principal e os três d,e,f são os elementos distintos acima da diagonal (cada um determina o correspondente abaixo da diagonal).
Passo 3
Contagem de graus de liberdade (entendendo dimensão de maneira intuitiva).
Cada entrada independente (cada parâmetro livre) contribui para a dimensão do subespaço.
Na matriz simétrica acima há exatamente 3 parâmetros na diagonal (a,b,c) e 3 parâmetros na parte estritamente acima da diagonal (d,e,f).
Logo o número máximo de elementos independentes é \,3+3=6. Isso sugere que a dimensão do subespaço é \leq 6. Para mostrar que é exatamente \,6 precisamos exibir explicitamente 6 vetores (matrizes) linearmente independentes que gerem todas as matrizes simétricas.
Passo 4
Construção de um candidato a base com seis matrizes.
Para cada parâmetro escolhemos uma matriz que tenha esse parâmetro igual a 1 e os outros parâmetros iguais a 0. As seis matrizes são:
Comentário intuitivo: B_{1},B_{2},B_{3} correspondem às posições diagonais (1,1),(2,2),(3,3). As B_{4},B_{5},B_{6} correspondem a colocar 1 na posição (i,j) e também em (j,i) para os pares (1,2),(1,3),(2,3), gerando as entradas simétricas.]
Passo 5
Mostrar que as matrizes \{B_{1},\dots,B_{6}\} geram todas as matrizes simétricas (spanning).
Tome uma matriz simétrica arbitrária
A=\begin{pmatrix} a & d & e \\\ d & b & f \\\ e & f & c \end{pmatrix}.
Podemos escrever A como combinação linear das B_{i}:
Verificação rápida: multiplicando e somando cada B_{i} com coeficientes acima recuperam-se exatamente os respectivos lugares da matriz A. Portanto as B_{i} geram o subespaço de matrizes simétricas.
Passo 6
Mostrar que as matrizes \{B_{1},\dots,B_{6}\} são linearmente independentes.