1. Determine uma base e a dimensão de cada um dos subespaços de M(3 \times 3) abaixo:
    UBS: U traço de uma matrız e a soma dos elementos de sua diagonal prıncıpal.
(a) Matrizes Simétricas.

Passo 1

O enunciado pede: determinar uma base e a dimensão do subespaço das matrizes simétricas de M(3\times3). Informação dada e o que precisamos encontrar:
  • Espaço ambiente: M(3\times3), as matrizes 3\times3 (assumiremos entradas em \mathbb{R}).
  • Subespaço em questão: todas as matrizes A\in M(3\times3) tais que A é simétrica.
  • O que é solicitado explicitamente:
    • Encontrar um conjunto de matrizes que forme uma base desse subespaço (ou seja, um conjunto que gere o subespaço e seja linearmente independente).
    • Determinar a dimensão do subespaço (número de elementos da base).
      Nada mais será usado do enunciado.

Passo 2

Definição e forma geral de uma matriz simétrica.
  • Uma matriz A é simétrica quando vale \,A^{T}=A. Isso significa que o elemento na linha i, coluna j é igual ao elemento na linha j, coluna i para todo i,j.
  • Escrevendo a forma geral de uma matriz simétrica 3\times3, introduzimos seis variáveis (porque os elementos abaixo da diagonal são iguais aos correspondentes acima da diagonal):
A=\begin{pmatrix} a & d & e \\\ d & b & f \\\ e & f & c \end{pmatrix},
onde a,b,c,d,e,f\in\mathbb{R}.
Explicação: os três elementos a,b,c são os da diagonal principal e os três d,e,f são os elementos distintos acima da diagonal (cada um determina o correspondente abaixo da diagonal).

Passo 3

Contagem de graus de liberdade (entendendo dimensão de maneira intuitiva).
  • Cada entrada independente (cada parâmetro livre) contribui para a dimensão do subespaço.
  • Na matriz simétrica acima há exatamente 3 parâmetros na diagonal ( a,b,c) e 3 parâmetros na parte estritamente acima da diagonal ( d,e,f).
  • Logo o número máximo de elementos independentes é \,3+3=6. Isso sugere que a dimensão do subespaço é \leq 6. Para mostrar que é exatamente \,6 precisamos exibir explicitamente 6 vetores (matrizes) linearmente independentes que gerem todas as matrizes simétricas.

Passo 4

Construção de um candidato a base com seis matrizes.
  • Para cada parâmetro escolhemos uma matriz que tenha esse parâmetro igual a 1 e os outros parâmetros iguais a 0. As seis matrizes são:
B_{1}=\begin{pmatrix}1&0&0\\[4pt]0&0&0\\[4pt]0&0&0\end{pmatrix},\quad B_{2}=\begin{pmatrix}0&0&0\\[4pt]0&1&0\\[4pt]0&0&0\end{pmatrix},\quad B_{3}=\begin{pmatrix}0&0&0\\[4pt]0&0&0\\[4pt]0&0&1\end{pmatrix},
B_{4}=\begin{pmatrix}0&1&0\\[4pt]1&0&0\\[4pt]0&0&0\end{pmatrix},\quad B_{5}=\begin{pmatrix}0&0&1\\[4pt]0&0&0\\[4pt]1&0&0\end{pmatrix},\quad B_{6}=\begin{pmatrix}0&0&0\\[4pt]0&0&1\\[4pt]0&1&0\end{pmatrix}.
Comentário intuitivo: B_{1},B_{2},B_{3} correspondem às posições diagonais (1,1),(2,2),(3,3). As B_{4},B_{5},B_{6} correspondem a colocar 1 na posição (i,j) e também em (j,i) para os pares (1,2),(1,3),(2,3), gerando as entradas simétricas.]

Passo 5

Mostrar que as matrizes \{B_{1},\dots,B_{6}\} geram todas as matrizes simétricas (spanning).
  • Tome uma matriz simétrica arbitrária
A=\begin{pmatrix} a & d & e \\\ d & b & f \\\ e & f & c \end{pmatrix}.
  • Podemos escrever A como combinação linear das B_{i}:
A = a\,B_{1} + b\,B_{2} + c\,B_{3} + d\,B_{4} + e\,B_{5} + f\,B_{6}.
  • Verificação rápida: multiplicando e somando cada B_{i} com coeficientes acima recuperam-se exatamente os respectivos lugares da matriz A. Portanto as B_{i} geram o subespaço de matrizes simétricas.

Passo 6

Mostrar que as matrizes \{B_{1},\dots,B_{6}\} são linearmente independentes.
  • Suponha que exista uma combinação linear nula:
\alpha_{1}B_{1}+\alpha_{2}B_{2}+\alpha_{3}B_{3}+\alpha_{4}B_{4}+\alpha_{5}B_{5}+\alpha_{6}B_{6}=0,
onde 0 é a matriz nula e os \alpha_{i}\in\mathbb{R}.
  • Olhando entrada por entrada:
    • Na posição (1,1) só aparece \alpha_{1}, logo \alpha_{1}=0.
    • Na posição (2,2) só aparece \alpha_{2}, logo \alpha_{2}=0.
    • Na posição (3,3) só aparece \alpha_{3}, logo \alpha_{3}=0.
    • Na posição (1,2) aparece \alpha_{4}, logo \alpha_{4}=0.
    • Na posição (1,3) aparece \alpha_{5}, logo \alpha_{5}=0.
    • Na posição (2,3) aparece \alpha_{6}, logo \alpha_{6}=0.
  • Assim todos os coeficientes são zero, o que prova a independência linear das B_{i}.

Passo 7

Conclusão sobre base e dimensão.
  • Como \{B_{1},\dots,B_{6}\} geram o subespaço e são linearmente independentes, elas formam uma base.
  • O número de vetores na base é \,6, portanto a dimensão do subespaço das matrizes simétricas de ordem 3 é \,6.

Resposta

Base:
\begin{pmatrix}1&0&0\\[4pt]0&0&0\\[4pt]0&0&0\end{pmatrix},\\ \begin{pmatrix}0&0&0\\[4pt]0&1&0\\[4pt]0&0&0\end{pmatrix},\\ \begin{pmatrix}0&0&0\\[4pt]0&0&0\\[4pt]0&0&1\end{pmatrix},\\ \begin{pmatrix}0&1&0\\[4pt]1&0&0\\[4pt]0&0&0\end{pmatrix},\\ \begin{pmatrix}0&0&1\\[4pt]0&0&0\\[4pt]1&0&0\end{pmatrix},\\ \begin{pmatrix}0&0&0\\[4pt]0&0&1\\[4pt]0&1&0\end{pmatrix}
Dimensão: \,6]

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