Determine uma base e a dimensão de cada um dos subespaços vetoriais abaixo.
(ii)
Passo 1
O enunciado pede a base e a dimensão do subespaço
S = lAin M2(R) mid A X = X Ar,
onde
X = 1 & -2 [6pt] 1 & 3
O conteúdo que vamos usar é que exigir A X = X A gera um sistema linear em torno das entradas de A, cujo espaço solução é o centralizador de X em M2(R).]
Passo 2
Seja
A = a & b [4pt] c & d
Computamos
AX = a & b c & d 1 & -2 [4pt]1 & 3 = acdot1 + bcdot1 & acdot(-2) + bcdot3 [4pt] ccdot1 + dcdot1 & ccdot(-2) + dcdot3 = a+b & -2a+3b [4pt] c+d & -2c+3d ,
XA = 1 & -2 [4pt]1 & 3 a & b c & d = 1cdot a + (-2)cdot c & 1cdot b + (-2)cdot d [4pt] 1cdot a + 3cdot c & 1cdot b + 3cdot d = a-2c & b-2d [4pt] a+3c & b+3d ]
Passo 3
Igualando
Das duas primeiras equações vem
Das duas últimas equações vem
que é coerente com (b=-2c].]
Passo 4
Escolhendo como parâmetros a e c, obtemos
b = -2c, d = a - b = a + 2c
Logo
A = a & -2c [4pt] c & a+2c = a1&00&1 + c0&-21&2
Observamos que 0&-21&2=X-I,
portanto
A = a,I + c,(X - I) = (a-c),I ;+; c,X,
mostrando que I,,X gera todo S.]
Passo 5
Verificamos que I,X é linearmente independente em M2(R) e gera S. Logo é uma base de S.