Sejam
um espaço vetorial e
uma base de
. Seja
. O conjunto
é um conjunto de geradores de
? O conjunto
pode ser linearmente independente? Justifique.
Passo 1
O enunciado considera um espaço vetorial
com base
, logo
. Dado um vetor arbitrário
, formamos o conjunto
.
Precisamos verificar:
Precisamos verificar:
-
gera ? -
pode ser linearmente independente?
Passo 2
Para ver que
gera
, basta expressar cada vetor da base
como combinação de elementos de
. Por exemplo,
Essas expressões mostram que
. Como toda base está contida no span de
, concluímos que
isto é,
é um conjunto de geradores de
.
Passo 3
Agora, para testar independência linear de
, note que
tem 4 vetores em um espaço de dimensão 3. Um fato básico de teoria de espaços vetoriais diz que qualquer subconjunto de mais de
vetores é necessariamente linearmente dependente. Logo,
não pode ser linearmente independente.