Sejam V um espaço vetorial e E=e1, e2, e3 uma base de V. Seja v in V. O conjunto A=v, v-e1, v-e2, v-e3 é um conjunto de geradores de V ? O conjunto A pode ser linearmente independente? Justifique.

Passo 1

O enunciado considera um espaço vetorial V com base E=e1,e2,e3, logo dim V=3. Dado um vetor arbitrário vin V, formamos o conjunto
A=,v,;v-e1,;v-e2,;v-e3.
Precisamos verificar:
  1. A gera V?
  2. A pode ser linearmente independente?

Passo 2

Para ver que A gera V, basta expressar cada vetor da base E como combinação de elementos de A. Por exemplo,
e1 ;=; v ;-;(v-e1),
e2 ;=; v ;-;(v-e2),
e3 ;=; v ;-;(v-e3)
Essas expressões mostram que e1,e2,e3inspanA. Como toda base está contida no span de A, concluímos que
spanA=V,
isto é, A é um conjunto de geradores de V.

Passo 3

Agora, para testar independência linear de A, note que A tem 4 vetores em um espaço de dimensão 3. Um fato básico de teoria de espaços vetoriais diz que qualquer subconjunto de mais de dim V vetores é necessariamente linearmente dependente. Logo, A não pode ser linearmente independente.

Resposta

A gera V, mas não pode ser linearmente independente.

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