Seja
o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 20 com coeficientes reais. Considere as seguintes afirmações:
I. Um subconjunto de
com 20 vetores é sempre linearmente independente.
II. Um subconjunto de
com 20 vetores está sempre contido em uma base de
.
III. Um subconseto de
com 20 vetores não gera
.
Está correto afirmar que
I. Um subconjunto de
II. Um subconjunto de
III. Um subconseto de
Está correto afirmar que
Passo 1
O enunciado diz que
é o espaço dos polinômios de grau
, logo
Precisamos avaliar três afirmações sobre subconjuntos de
com
vetores, usando resultados básicos de dimensão, independência linear e geração.
Passo 2
Analisando a afirmação I: “Um subconjunto de
com
vetores é sempre linearmente independente.”
Pela teoria, qualquer conjunto de vetores em um espaço de dimensão que tenha mais de
vetores é automaticamente dependente, e qualquer conjunto com até
vetores pode ser independente ou dependente. Aqui
, mas isso não garante independência. Por exemplo,
cópias do mesmo polinômio são um conjunto de
vetores e claramente linearmente dependentes. Logo, I é falsa.
Pela teoria, qualquer conjunto de vetores em um espaço de dimensão
Passo 3
Analisando a afirmação II: “Um subconjunto de
com
vetores está sempre contido em uma base de
.”
Só conjuntos linearmente independentes podem ser estendidos a uma base. Como vimos, há subconjuntos de vetores que são dependentes, e esses não podem entrar numa base (que exige independência). Portanto, II é falsa.
Só conjuntos linearmente independentes podem ser estendidos a uma base. Como vimos, há subconjuntos de
Passo 4
Analisando a afirmação III: “Um subconjunto de
com
vetores não gera
.”
Para gerar é preciso ter pelo menos
vetores. Qualquer conjunto com apenas
vetores não pode ser gerador de
. Logo, III é verdadeira.
Para gerar
Resposta
Apenas a afirmação III está correta.