Seja V=P20(R) o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 20 com coeficientes reais. Considere as seguintes afirmações:
I. Um subconjunto de V com 20 vetores é sempre linearmente independente.
II. Um subconjunto de V com 20 vetores está sempre contido em uma base de V.
III. Um subconseto de V com 20 vetores não gera V.
Está correto afirmar que

Passo 1

O enunciado diz que
V=P20(R) é o espaço dos polinômios de grau <=20, logo
dim(V)=21
Precisamos avaliar três afirmações sobre subconjuntos de V com 20 vetores, usando resultados básicos de dimensão, independência linear e geração.

Passo 2

Analisando a afirmação I: “Um subconjunto de V com 20 vetores é sempre linearmente independente.”
Pela teoria, qualquer conjunto de vetores em um espaço de dimensão n que tenha mais de n vetores é automaticamente dependente, e qualquer conjunto com até n vetores pode ser independente ou dependente. Aqui 20<21, mas isso não garante independência. Por exemplo, 20 cópias do mesmo polinômio são um conjunto de 20 vetores e claramente linearmente dependentes. Logo, I é falsa.

Passo 3

Analisando a afirmação II: “Um subconjunto de V com 20 vetores está sempre contido em uma base de V.”
Só conjuntos linearmente independentes podem ser estendidos a uma base. Como vimos, há subconjuntos de 20 vetores que são dependentes, e esses não podem entrar numa base (que exige independência). Portanto, II é falsa.

Passo 4

Analisando a afirmação III: “Um subconjunto de V com 20 vetores não gera V.”
Para gerar V é preciso ter pelo menos dim(V)=21 vetores. Qualquer conjunto com apenas 20 vetores não pode ser gerador de V. Logo, III é verdadeira.

Resposta

Apenas a afirmação III está correta.

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