Verificar se os vetores:
v1=(1,3,-2), v2=(-1,2,1) e v3=(5,0,-7)
constituem uma base para o R^3.

Passo 1

O enunciado dá três vetores em R^3:
v1=(1,3,-2), v2=(-1,2,1), v3=(5,0,-7),
e pede para verificar se eles constituem uma base de R^3. Para isso, precisamos checar se são linearmente independentes (ou equivalentemente se formam a reta-matriz com determinante não nulo).

Passo 2

Lembrando que em R^3 três vetores formam uma base se, e somente se, o determinante da matriz que tem esses vetores como colunas (ou linhas) for diferente de zero. Se det A=0, então os vetores são linearmente dependentes e não formam base.

Passo 3

Formamos a matriz cujas colunas são v1,v2,v3:
A = 1 & -1 & 5 3 & 2 & 0 -2& 1 & -7
Calculamos o determinante por expansão na primeira linha:
det(A) =1cdotdet!2 & 01 & -7 -(-1)cdotdet!3 & 0-2 & -7 +5cdotdet!3 & 2-2 & 1
Agora avaliamos cada menor:
det2 & 01 & -7 =2cdot(-7)-0cdot1=-14,
det3 & 0-2 & -7 =3cdot(-7)-0cdot(-2)=-21,
det3 & 2-2 & 1 =3cdot1-2cdot(-2)=3+4=7
Substituindo:
det(A) =1cdot(-14)-(-1)cdot(-21)+5cdot7 =-14-21+35=0

Passo 4

Como det(A)=0, os vetores são linearmente dependentes e, portanto, não constituem uma base de R^3.

Resposta

Os vetores v1,v2,v3 não formam base de R^3.

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