Determine uma base e a dimensão de cada um dos subespaços vetoriais abaixo.
(iv) S=[cc2 a & a+2 b 0 & a-b] rvert, a, b in R subset M2(R)

Passo 1

O enunciado nos dá o subespaço
S=l2a & a+2b[6pt]0 & a-bm|a,binRrsubset M2(R)
e pede uma base e a dimensão de S. O conteúdo usado será a expressão paramétrica de vetores em função de parâmetros livres e a verificação de independência linear.]

Passo 2

Escrevemos a matriz genérica de S e separamos os termos que multiplicam a e b. Seja
M(a,b)=2a & a+2b[3pt]0 & a-b
Logo, agrupando coeficientes de a e de b, teremos]

Passo 3

M(a,b) = a2 & 1[3pt]0 & 1 + b0 & 2[3pt]0 & -1
Isto mostra que
S=spanl,M1,M2r,
once
M1=2 & 1[3pt]0 & 1, M2=0 & 2[3pt]0 & -1 ]

Passo 4

Para ver que M1,M2 é linearmente independente, consideramos
c1M1+c2M2 =2c1 & c1+2c2[3pt]0 & c1-c2 =0 & 0[3pt]0 & 0
Da entrada (1,1) vem 2c1=0Rightarrow c1=0.
Da entrada (1,2) vem c1+2c2=0Rightarrow 2c2=0Rightarrow c2=0.
Portanto c1=c2=0 e os vetores são independentes.]

Passo 5

Concluímos que
M1,M2
é uma base de S e, como tem dois vetores,
dim(S)=2

Resposta

Base de S:
l 2 & 1[3pt]0 & 1,, 0 & 2[3pt]0 & -1 r
Dimensão de S: 2.]

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