Seja V um espaço vetorial. Prove que se existir um conjunto E=e1, e2, e3 subset V linearmente independente tal que E cupu é linearmente dependente, qualquer que seja o vetor u in V, então a dimensão de V é 3.

Passo 1

O enunciado diz que V é um espaço vetorial e que existe um conjunto E=e1,e2,e3subset V que é linearmente independente, mas que ao juntar qualquer vetor uin V forma-se um conjunto linearmente dependente. O que precisamos provar é que dim(V)=3. Para isso, vamos usar a caracterização de base como conjunto independente maximal (isto é, que gera V) e a definição de dimensão como o número de vetores em qualquer base de V.

Passo 2

Vamos mostrar que E gera todo V. Suponha, por absurdo, que exista um vetor
uin VsetminusSpan(E)
Como unotinSpan(E), não há combinação linear
alpha1e1+alpha2e2+alpha3e3 = u
que defina u. Nesse caso, o conjunto Ecupu=e1,e2,e3,u seria ainda linearmente independente (pois nenhum dos quatro pode ser escrito como combinação dos outros três). Mas isso contradiz a hipótese de que para todo uin V, o conjunto Ecupu é dependente. Logo, não pode existir tal u, ou seja,
V = Span(E)

Passo 3

Como E é independente (hipótese) e gera V (resultado do passo anterior), concluímos que E é uma base de V.

Passo 4

Pela definição de dimensão, o número de vetores em qualquer base de V é exatamente dim(V). Como E tem três vetores, segue-se que
dim(V) = 3

Resposta

dim(V)=3.

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