Seja
um espaço vetorial. Prove que se existir um conjunto
linearmente independente tal que
é linearmente dependente, qualquer que seja o vetor
, então a dimensão de
é 3.
Passo 1
O enunciado diz que
é um espaço vetorial e que existe um conjunto
que é linearmente independente, mas que ao juntar qualquer vetor
forma-se um conjunto linearmente dependente. O que precisamos provar é que
. Para isso, vamos usar a caracterização de base como conjunto independente maximal (isto é, que gera
) e a definição de dimensão como o número de vetores em qualquer base de
.
Passo 2
Vamos mostrar que
gera todo
. Suponha, por absurdo, que exista um vetor
Como
, não há combinação linear
que defina
. Nesse caso, o conjunto
seria ainda linearmente independente (pois nenhum dos quatro pode ser escrito como combinação dos outros três). Mas isso contradiz a hipótese de que para todo
, o conjunto
é dependente. Logo, não pode existir tal
, ou seja,
Passo 3
Como
é independente (hipótese) e gera
(resultado do passo anterior), concluímos que
é uma base de
.
Passo 4
Pela definição de dimensão, o número de vetores em qualquer base de
é exatamente
. Como
tem três vetores, segue-se que