Considere o subconjunto B=[ll1 & 1 1 & 1 1 & 1],[cc-1 & 1 4 & 0 0 & 1],[ll1 & 0 2 & 3 4 & 3] do espaço vetorial M3 times 2(R).
(i) Mostre que B é linearmente independente.

Passo 1

O enunciado dá o subconjunto
B=A,B,Csubset M3times2(R) onde
A=1 & 11 & 11 & 1, B=-1 & 14 & 00 & 1, C=1 & 02 & 34 & 3
e pede (i) mostrar que B é linearmente independente.
Conteúdo: definição de independência linear em espaço vetorial, ou seja, mostrar que a única combinação
alpha A + beta B + gamma C = 0 é com alpha=beta=gamma=0.

Passo 2

Suponha que existam escalares alpha,beta,gammainR tais que
alpha A + beta B + gamma C = 0 & 00 & 00 & 0
Isso significa que cada uma das seis entradas dessa soma é zero.

Passo 3

Escrevendo coordenada a coordenada na ordem
(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2), obtemos o sistema
alphacdot1 + betacdot(-1) + gammacdot1 = 0, alphacdot1 + betacdot1 + gammacdot0 = 0, alphacdot1 + betacdot4 + gammacdot2 = 0, alphacdot1 + betacdot0 + gammacdot3 = 0, alphacdot1 + betacdot0 + gammacdot4 = 0, alphacdot1 + betacdot1 + gammacdot3 = 0

Passo 4

Das duas primeiras equações temos
alpha - beta + gamma = 0, alpha + beta = 0
Da segunda vem alpha = -beta. Substituindo na quarta equação
alpha + 3gamma=0 -beta+3gamma=0, ou seja beta=3gamma e então alpha=-3gamma.

Passo 5

Agora a quinta equação é
alpha + 4gamma = 0
e substituindo alpha=-3gamma resulta em
-3gamma + 4gamma = 0,
logo gamma=0. Assim beta=3gamma=0 e alpha=-3gamma=0.

Resposta

Como a única solução é alpha=beta=gamma=0, concluímos que B é linearmente independente.

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