Determine uma base e a dimensão para cada um dos subespaços vetoriais:
[lla & b c & d] ; b=a+c

Passo 1

O enunciado pede o espaço de todas as matrizes
X=a & b c & d
de dimensão 2times2 que satisfazem a condição linear b=a+c.
O conteúdo é subespaço de R^2times2: vamos parametrizar usando variáveis livres e extrair uma base e a dimensão.

Passo 2

Escrevemos o elemento genérico do subespaço impondo b=a+c:
X=a & a+c c & d
Aqui as incógnitas a, c e d são livres. Logo o espaço é isomorfo a R^3.

Passo 3

Separamos o papel de cada parâmetro a, c e d escrevendo X como combinação linear:
X = a1 & 1 0 & 0 + c0 & 1 1 & 0 + d0 & 0 0 & 1

Passo 4

Os três coeficientes a, c, d são independentes e cada matriz que multiplica é linearmente independente das outras. Portanto uma base natural é
B = 1 & 1 0 & 0, 0 & 1 1 & 0, 0 & 0 0 & 1

Passo 5

O número de vetores da base é 3, logo a dimensão do subespaço é 3.

Resposta

Uma base é
1 & 1 0 & 0, 0 & 1 1 & 0, 0 & 0 0 & 1
e a dimensão vale 3.

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