Determine uma base e a dimensão para cada um dos subespaços vetoriais:
Passo 1
O enunciado pede o espaço de todas as matrizes
de dimensão
que satisfazem a condição linear
.
O conteúdo é subespaço de : vamos parametrizar usando variáveis livres e extrair uma base e a dimensão.
O conteúdo é subespaço de
Passo 2
Escrevemos o elemento genérico do subespaço impondo
:
Aqui as incógnitas
,
e
são livres. Logo o espaço é isomorfo a
.
Passo 3
Separamos o papel de cada parâmetro
,
e
escrevendo
como combinação linear:
Passo 4
Os três coeficientes
a ,
c ,
d são independentes e cada matriz que multiplica é linearmente independente das outras. Portanto uma base natural é
Passo 5
O número de vetores da base é
3 , logo a dimensão do subespaço é
3 .
Resposta
Uma base é
e a dimensão vale
3 .