(a) Encontre as equações paramétricas da reta que passa por (2,4,6) e é perpendicular ao plano x-y+3 z=7.
(b) Em que pontos essa reta intercepta os planos coordenados?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
– (a) as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto (2,4,6) e é perpendicular ao plano x - y + 3z = 7.
– (b) os pontos em que essa reta intercepta os três planos coordenados.
O conteúdo envolvido é geometria analítica no espaço: precisamos usar o vetor normal de um plano para definir a direção de uma reta perpendicular e depois resolver interseções de reta com plano.

Passo 2

Uma reta perpendicular a um plano tem vetor diretor paralelo ao vetor normal do plano. O plano dado é
x - y + 3z = 7,
logo um vetor normal é
n = (1,,-1,,3)
Podemos escolher esse como vetor diretor da reta:
d = (1,,-1,,3)

Passo 3

Para obter as equações paramétricas usamos a forma
r(t) = r0 + t,d,
onde r0 = (2,4,6). Assim
x = 2 + t, y = 4 - t, z = 6 + 3t

Passo 4

Agora vamos achar onde essa reta corta cada plano coordenado, anulando uma coordenada de cada vez:
Plano x=0:
Impondo 2 + t = 0 t = -2. Então
y = 4 - (-2) = 6, z = 6 + 3(-2) = 0,
logo ponto de interseção (0,6,0).
Plano y=0:
Impondo 4 - t = 0 t = 4. Então
x = 2 + 4 = 6, z = 6 + 3cdot4 = 18,
logo ponto de interseção (6,0,18).
Plano z=0:
Impondo 6 + 3t = 0 t = -2. Então
x = 2 + (-2) = 0, y = 4 - (-2) = 6,
o que devolve novamente (0,6,0).

Resposta

(a) As equações paramétricas da reta são
x = 2 + t, y = 4 - t, z = 6 + 3t
(b) A reta intercepta os planos coordenados nos pontos
(0,6,0)(planos (x=0) e (z=0)), (6,0,18)(plano (y=0))

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