Exercício 10. Seja T: U longrightarrow V uma transformação linear e seja B=u1, u2, ldots, un uma base de U. Mostre que a transformação linear T é completamente determinada pelos seus valores (vetoriais) nos elementos da base B. Mais precisamente, se S: U longrightarrow V é uma transformação linear e vale que
S(ui)=T(ui) para todo i=1,2, ldots, n,
mostre que S=T.

Passo 1

O enunciado trata de transformações lineares T,S:Uto V e diz que elas coincidem em cada vetor de uma base B=u1,dots,un de U. O que queremos mostrar é que, por serem lineares e a base gerar todo U, basta conhecer os valores em B para determinar totalmente a transformação. Vamos usar a ideia de combinação linear única de vetores em termos de uma base.

Passo 2

Seja uin U qualquer. Como B é base de U, existe uma única coleção de escalares a1,a2,dots,an em torno do corpo (digamos K) tal que
u = a1,u1 + a2,u2 + cdots + an,un

Passo 3

Pela linearidade de T, aplicando T ao vetor u temos
T(u) = Tl(a1u1 + cdots + anunr) = a1,T(u1) + cdots + an,T(un)
De modo análogo, pela linearidade de S vale
S(u) = a1,S(u1) + cdots + an,S(un)

Passo 4

Pelo enunciado, para cada índice i temos S(ui)=T(ui). Substituindo na expressão de S(u) obtemos
S(u) = a1,T(u1) + cdots + an,T(un) = T(u)
Como u foi um vetor arbitrário de U, concluímos que S(u)=T(u) para todo uin U.

Resposta

Portanto, S=T; isto é, uma transformação linear é totalmente determinada pelos seus valores em uma base de U.

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