Exercício 10. Seja
uma transformação linear e seja
uma base de
. Mostre que a transformação linear
é completamente determinada pelos seus valores (vetoriais) nos elementos da base
. Mais precisamente, se
é uma transformação linear e vale que
mostre que
.
Passo 1
O enunciado trata de transformações lineares
e diz que elas coincidem em cada vetor de uma base
de
. O que queremos mostrar é que, por serem lineares e a base gerar todo
, basta conhecer os valores em
para determinar totalmente a transformação. Vamos usar a ideia de combinação linear única de vetores em termos de uma base.
Passo 2
Seja
qualquer. Como
é base de
, existe uma única coleção de escalares
em torno do corpo (digamos
) tal que
Passo 3
Pela linearidade de
, aplicando
ao vetor
temos
De modo análogo, pela linearidade de
vale
Passo 4
Pelo enunciado, para cada índice
temos
. Substituindo na expressão de
obtemos
Como
foi um vetor arbitrário de
, concluímos que
para todo
.
Resposta
Portanto,
; isto é, uma transformação linear é totalmente determinada pelos seus valores em uma base de
.