Seja V=P3(R). Determine se o conjunto a seguir é LI ou LD e justifique.
p1(t)=2 t^3-4 t^2+9 t+5, p2(t)=3 t^3-8 t^2-8 t+7

Passo 1

O enunciado fornece o espaço vetorial V=P3(R) e o conjunto de dois polinômios
p1(t)=2t^3-4t^2+9t+5, p2(t)=3t^3-8t^2-8t+7
e pede para decidir se eles são linearmente independentes (LI) ou dependentes (LD). Vamos usar a definição de independência linear: o conjunto é LI se a única combinação
alpha1p1+alpha2p2=0
for a trivial alpha1=alpha2=0.

Passo 2

Escrevendo
alpha1p1(t)+alpha2p2(t)=0
temos o polinômio nulo, logo cada coeficiente em t^3,t^2,t^1,t^0 deve ser zero. Isso gera o sistema
2alpha1+3alpha2=0, -4alpha1-8alpha2=0, 9alpha1-8alpha2=0, 5alpha1+7alpha2=0

Passo 3

Da primeira equação segue alpha1=-tfrac32alpha2. Substituindo na segunda:
-4l(-tfrac32alpha2r)-8alpha2=0 ;Longrightarrow; 6alpha2-8alpha2=0 ;Longrightarrow; -2alpha2=0 ;Longrightarrow; alpha2=0
Logo alpha1=0. As outras equações se satisfazem automaticamente. Portanto a única solução é trivial, o que prova que p1,p2 é linearmente independente.

Resposta

O conjunto é linearmente independente.

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