Determine uma base e a dimensão do espaço solução de cada sistema homogêneo: \left\{\begin{array}{l}x+2 y+2 z-s+3 t=0 \\\ x+2 y+3 z+s+t=0 \\\\ 3 x+6 y+8 z+s+5 t=0\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede: determinar uma base e a dimensão do espaço solução (núcleo) do sistema homogêneo cujas incógnitas são x,y,z,s,t\):
\[\begin{cases} x+2y+2z-s+3t=0,\\[4pt] x+2y+3z+s+t=0,\\[4pt] 3x+6y+8z+s+5t=0. \end{cases}
Informações relevantes dadas:
São 5\] incógnitas: \(x,y,z,s,t.
São 3 equações lineares homogêneas.
Queremos a base do espaço solução (conjunto de todas as tuplas (x,y,z,s,t) que satisfazem o sistema) e a dimensão desse espaço.]
Passo 2
Vou escrever a matriz de coeficientes A (sem a coluna de zeros, pois o sistema é homogêneo):
Observo que a terceira linha é o dobro da segunda: R_3 = 2R_2. Logo a terceira linha não traz nova informação e posso zerá‑la (ou simplesmente ignorá‑la para obter a forma escalonada). Assim a matriz escalonada relevante é
Os três vetores separados são soluções linearmente independentes (cada um corresponde a escolher um parâmetro igual a 1 e os outros 0), portanto formam uma base do espaço solução.
Passo 8
Dimensão do espaço solução: pelo Teorema da Dimensão (nullity = número de variáveis menos posto), temos
número de variáveis =5,
posto = número de pivôs =2,
logo dimensão =5-2=3.
Isso coincide com o fato de termos três parâmetros livres \alpha,\beta,\gamma.