Determine uma base e a dimensão do espaço solução de cada sistema homogêneo:
\left\{\begin{array}{l}x+2 y+2 z-s+3 t=0 \\\ x+2 y+3 z+s+t=0 \\\\ 3 x+6 y+8 z+s+5 t=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede: determinar uma base e a dimensão do espaço solução (núcleo) do sistema homogêneo cujas incógnitas são x,y,z,s,t\): \[\begin{cases} x+2y+2z-s+3t=0,\\[4pt] x+2y+3z+s+t=0,\\[4pt] 3x+6y+8z+s+5t=0. \end{cases}
Informações relevantes dadas:
  • São 5\] incógnitas: \(x,y,z,s,t.
  • São 3 equações lineares homogêneas.
  • Queremos a base do espaço solução (conjunto de todas as tuplas (x,y,z,s,t) que satisfazem o sistema) e a dimensão desse espaço.]

Passo 2

Vou escrever a matriz de coeficientes A (sem a coluna de zeros, pois o sistema é homogêneo):
A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & -1 & 3\\[4pt] 1 & 2 & 3 & 1 & 1\\[4pt] 3 & 6 & 8 & 1 & 5 \end{pmatrix}.
Cada linha corresponde a uma equação, cada coluna a uma incógnita na ordem (x,y,z,s,t).]

Passo 3

Faço eliminação de Gauss para achar a forma escalonada. Primeiro, subtraio a linha 1 da linha 2 e subtraio 3 vezes a linha 1 da linha 3:
  • R_2 \leftarrow R_2 - R_1:
R_2 = (1-1,\;2-2,\;3-2,\;1-(-1),\;1-3)=(0,0,1,2,-2).
  • R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1:
R_3 = (3-3,\;6-6,\;8-6,\;1-3(-1),\;5-9)=(0,0,2,4,-4).
A matriz fica
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & -1 & 3\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 2 & -2\\[4pt] 0 & 0 & 2 & 4 & -4 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Observo que a terceira linha é o dobro da segunda: R_3 = 2R_2. Logo a terceira linha não traz nova informação e posso zerá‑la (ou simplesmente ignorá‑la para obter a forma escalonada). Assim a matriz escalonada relevante é
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & -1 & 3\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 2 & -2\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Os pivôs estão nas colunas 1 (variável x) e 3 (variável z). As colunas 2,4,5 (variáveis y,s,t) são colunas livres.]

Passo 5

Elimino o termo 2 em z na primeira linha usando a segunda linha: R_1 \leftarrow R_1 - 2R_2.
Calculemos:
2R_2=(0,0,2,4,-4),
R_1 - 2R_2 = (1,2,2,-1,3) - (0,0,2,4,-4) = (1,2,0,-5,7).
Agora a matriz está em forma escalonada reduzida (suficiente para resolver):
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & -5 & 7\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 2 & -2\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Traduzo as linhas escalonadas de volta em equações (cada linha corresponde a uma equação igual a zero):
  • Primeira linha: x + 2y -5s +7t = 0.
  • Segunda linha: z + 2s -2t = 0.
As variáveis livres são y,s,t. Vou parametrizá‑las com parâmetros (mais prático na hora da prova): seja
y=\alpha,\qquad s=\beta,\qquad t=\gamma,
onde \alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R}. Agora resolvo para as variáveis pivô x e z:
  • De z + 2s -2t = 0 obtemos
z = -2s + 2t = -2\beta + 2\gamma.
  • De x + 2y -5s +7t = 0 obtemos
x = -2y +5s -7t = -2\alpha +5\beta -7\gamma.

Passo 7

Escrevo a solução geral como combinação linear dos parâmetros. O vetor solução (x,y,z,s,t) é
\begin{pmatrix}x\y\z\s\t\end{pmatrix} = \alpha\begin{pmatrix}-2\\\ 1\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} +\beta\begin{pmatrix}5\\\ 0\\\ -2\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} +\gamma\begin{pmatrix}-7\\\ 0\\\ 2\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix},
onde \alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R}.
Os três vetores separados são soluções linearmente independentes (cada um corresponde a escolher um parâmetro igual a 1 e os outros 0), portanto formam uma base do espaço solução.

Passo 8

Dimensão do espaço solução: pelo Teorema da Dimensão (nullity = número de variáveis menos posto), temos
  • número de variáveis =5,
  • posto = número de pivôs =2,
    logo dimensão =5-2=3.
    Isso coincide com o fato de termos três parâmetros livres \alpha,\beta,\gamma.

Resposta

\displaystyle \text{Base}=\left\{\begin{pmatrix}-2\\\ 1\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}5\\\ 0\\\ -2\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-7\\\ 0\\\ 2\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}\right\}
\displaystyle \dim=3

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