Quais dos subconjuntos abaixo são subespaços vetoriais do
? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado dá o subconjunto
A pergunta é:
é um subespaço vetorial de
? É preciso justificar.
Passo 2
Lembrete útil (definição prática): para mostrar que um subconjunto
de
é subespaço vetorial, basta verificar três propriedades simples:
-
não é vazio (ou equivalentemente contém o vetor nulo); -
é fechado sob adição: se e , então ; -
é fechado sob multiplicação escalar: se e , então .
Explicando levemente cada item: o vetor nulo é
. “Fechado” quer dizer que a operação aplicada a elementos de
resulta em outro elemento de
. Se esses três itens valem, qualquer combinação linear de vetores de
também estará em
, e assim
é subespaço.
Passo 3
Verificar que o vetor nulo pertence a
. Substituindo
na equação que define
:
Como a igualdade é satisfeita,
. Portanto
não é vazio.
Passo 4
Verificar fechamento por adição. Tome dois vetores arbitrários em
:
Pelo fato de pertencerem a
sabemos que
Considere a soma
. Verificamos se esta soma pertence a
calculando:
Logo
. Assim
é fechado sob adição.
Passo 5
Verificar fechamento por multiplicação escalar. Tome um vetor arbitrário
e um escalar
. Sabemos que
Considere
. Calculamos:
Portanto
. Assim
é fechado sob multiplicação por escalares.
Passo 6
Como
contém o vetor nulo e é fechado sob adição e multiplicação escalar, pelas propriedades listadas no Passo 2 concluímos que
é um subespaço vetorial de
.
Observação adicional (intuitiva, sem necessidade para a prova):
é o plano através da origem definido pela equação linear
. Qualquer núcleo (kernel) de uma transformação linear do tipo
é sempre um subespaço, e aqui
.