Quais dos subconjuntos abaixo são subespaços vetoriais do \mathbb{R}^{3} ? Justifique sua resposta.
W_{1}=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x-y+2 z=0\right\}

Passo 1

O enunciado dá o subconjunto
W_{1}=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x-y+2z=0\right\}.
A pergunta é: \,W_{1} é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^{3}? É preciso justificar.

Passo 2

Lembrete útil (definição prática): para mostrar que um subconjunto W de \mathbb{R}^{3} é subespaço vetorial, basta verificar três propriedades simples:
  1. W não é vazio (ou equivalentemente contém o vetor nulo);
  2. W é fechado sob adição: se \mathbf{u}\in W e \mathbf{v}\in W, então \mathbf{u}+\mathbf{v}\in W;
  3. W é fechado sob multiplicação escalar: se \mathbf{u}\in W e \lambda\in\mathbb{R}, então \lambda\mathbf{u}\in W.
Explicando levemente cada item: o vetor nulo é (0,0,0). “Fechado” quer dizer que a operação aplicada a elementos de W resulta em outro elemento de W. Se esses três itens valem, qualquer combinação linear de vetores de W também estará em W, e assim W é subespaço.

Passo 3

Verificar que o vetor nulo pertence a \,W_{1}. Substituindo (0,0,0) na equação que define W_{1}:
0-0+2\cdot 0 = 0.
Como a igualdade é satisfeita, (0,0,0)\in W_{1}. Portanto W_{1} não é vazio.

Passo 4

Verificar fechamento por adição. Tome dois vetores arbitrários em \,W_{1}:
\mathbf{u}=(x_1,y_1,z_1)\in W_{1}\quad\text{e}\quad \mathbf{v}=(x_2,y_2,z_2)\in W_{1}.
Pelo fato de pertencerem a W_{1} sabemos que
x_1-y_1+2z_1=0\qquad\text{e}\qquad x_2-y_2+2z_2=0.
Considere a soma \mathbf{u}+\mathbf{v}=(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2). Verificamos se esta soma pertence a W_{1} calculando:
(x_1+x_2)-(y_1+y_2)+2(z_1+z_2)=(x_1-y_1+2z_1)+(x_2-y_2+2z_2)=0+0=0.
Logo \mathbf{u}+\mathbf{v}\in W_{1}. Assim W_{1} é fechado sob adição.

Passo 5

Verificar fechamento por multiplicação escalar. Tome um vetor arbitrário \mathbf{u}=(x,y,z)\in W_{1} e um escalar \lambda\in\mathbb{R}. Sabemos que
x-y+2z=0.
Considere \lambda\mathbf{u}=(\lambda x,\lambda y,\lambda z). Calculamos:
\lambda x-\lambda y+2(\lambda z)=\lambda(x-y+2z)=\lambda\cdot 0=0.
Portanto \lambda\mathbf{u}\in W_{1}. Assim W_{1} é fechado sob multiplicação por escalares.

Passo 6

Como W_{1} contém o vetor nulo e é fechado sob adição e multiplicação escalar, pelas propriedades listadas no Passo 2 concluímos que W_{1} é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^{3}.
Observação adicional (intuitiva, sem necessidade para a prova): W_{1} é o plano através da origem definido pela equação linear x-y+2z=0. Qualquer núcleo (kernel) de uma transformação linear do tipo f(x,y,z)=x-y+2z é sempre um subespaço, e aqui W_{1}=\ker f.

Resposta

W_{1} é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^{3}.

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