Objetivo explícito: encontrar os escalares c_{1},c_{2},c_{3},c_{4}\in\mathbb{R} tais que
A=c_{1}B_{1}+c_{2}B_{2}+c_{3}B_{3}+c_{4}B_{4},
e então escrever o vetor coordenada \big(c_{1},c_{2},c_{3},c_{4}\big)^{T}.]
Passo 2
O conceito que vamos usar (explicação didática curta e amigável).
Vetor coordenada: dado um espaço vetorial e uma base \mathcal{B}, o vetor coordenada de um vetor v é a lista de coeficientes únicos que expressam v como combinação linear dos vetores da base.
Importante: se \mathcal{B} é realmente uma base (vetores linearly independent e geram o espaço), essa escrita é única. Aqui \mathcal{B} tem 4 matrizes em M_{2}(\mathbb{R}) (espaço de dimensão 4), então é razoável que seja uma base e a representação será única.
Método prático: escrevemos uma combinação linear com incógnitas c_{1},\dots,c_{4}, comparamos entrada por entrada da matriz resultante e resolvemos o sistema linear obtido.
Passo 3
Escrever a igualdade da combinação linear com incógnitas.
Finalmente, usando c_{1}=1, c_{3}=0 na primeira equação c_{1}+c_{3}+c_{4}=1 temos
1+0+c_{4}=1\quad\Rightarrow\quad c_{4}=0.
Passo 7
Interpretação final rápida e ânimo.
Encontramos os coeficientes c_{1}=1, c_{2}=0, c_{3}=0, c_{4}=0.
Isso faz sentido intuitivo: a matriz A é exatamente o primeiro vetor da base B_{1}, então só precisa do coeficiente 1 em B_{1} e zeros nos demais.
Você já matou essa questão — na prova, ao ver que o vetor é igual a um dos vetores da base, dá para responder diretamente, mas é bom saber montar o sistema quando não é tão óbvio.