Seja V o espaço vetorial M_{2}(\mathbb{R}) das matrizes 2 \times 2 sobre \mathbb{R}. Encontre o vetor coordenada da matriz A \in V em relação à base
\left\{\left[\begin{array}{ll} 1 & 1 \\\\ 1 & 1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{cc} 0 & -1 \\\\ 1 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{cc} 1 & -1 \\\\ 0 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\\\ 0 & 0 \end{array}\right]\right\}
onde
A=\left[\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}\right]

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele nos deu.
  • Pede: encontrar o vetor coordenada de A em relação à base
\mathcal{B}=\left\{B_{1},B_{2},B_{3},B_{4}\right\}.
  • A base fornecida tem os vetores (matrizes)
B_{1}=\left[\begin{array}{cc}1 & 1\\[4pt]1 & 1\end{array}\right],\quad B_{2}=\left[\begin{array}{cc}0 & -1\\[4pt]1 & 0\end{array}\right],\quad B_{3}=\left[\begin{array}{cc}1 & -1\\[4pt]0 & 0\end{array}\right],\quad B_{4}=\left[\begin{array}{cc}1 & 0\\[4pt]0 & 0\end{array}\right].
  • A matriz cujo vetor coordenada queremos é
A=\left[\begin{array}{cc}1 & 1\\[4pt]1 & 1\end{array}\right].
  • Objetivo explícito: encontrar os escalares c_{1},c_{2},c_{3},c_{4}\in\mathbb{R} tais que
A=c_{1}B_{1}+c_{2}B_{2}+c_{3}B_{3}+c_{4}B_{4},
e então escrever o vetor coordenada \big(c_{1},c_{2},c_{3},c_{4}\big)^{T}.]

Passo 2

O conceito que vamos usar (explicação didática curta e amigável).
  • Vetor coordenada: dado um espaço vetorial e uma base \mathcal{B}, o vetor coordenada de um vetor v é a lista de coeficientes únicos que expressam v como combinação linear dos vetores da base.
  • Importante: se \mathcal{B} é realmente uma base (vetores linearly independent e geram o espaço), essa escrita é única. Aqui \mathcal{B} tem 4 matrizes em M_{2}(\mathbb{R}) (espaço de dimensão 4), então é razoável que seja uma base e a representação será única.
  • Método prático: escrevemos uma combinação linear com incógnitas c_{1},\dots,c_{4}, comparamos entrada por entrada da matriz resultante e resolvemos o sistema linear obtido.

Passo 3

Escrever a igualdade da combinação linear com incógnitas.
\left[\begin{array}{cc}1 & 1\\[4pt]1 & 1\end{array}\right] = c_{1}\left[\begin{array}{cc}1 & 1\\[4pt]1 & 1\end{array}\right] + c_{2}\left[\begin{array}{cc}0 & -1\\[4pt]1 & 0\end{array}\right] + c_{3}\left[\begin{array}{cc}1 & -1\\[4pt]0 & 0\end{array}\right] + c_{4}\left[\begin{array}{cc}1 & 0\\[4pt]0 & 0\end{array}\right].]

Passo 4

Calcular a combinação no lado direito somando entradas correspondentes (mostrar passo a passo das entradas).
  • Entradas (1,1): do lado direito temos
c_{1}\cdot 1 + c_{2}\cdot 0 + c_{3}\cdot 1 + c_{4}\cdot 1 = c_{1}+c_{3}+c_{4}.
  • Entradas (1,2): do lado direito temos
c_{1}\cdot 1 + c_{2}\cdot(-1) + c_{3}\cdot(-1) + c_{4}\cdot 0 = c_{1}-c_{2}-c_{3}.
  • Entradas (2,1): do lado direito temos
c_{1}\cdot 1 + c_{2}\cdot 1 + c_{3}\cdot 0 + c_{4}\cdot 0 = c_{1}+c_{2}.
  • Entradas (2,2): do lado direito temos
c_{1}\cdot 1 + c_{2}\cdot 0 + c_{3}\cdot 0 + c_{4}\cdot 0 = c_{1}.

Passo 5

Igualar cada entrada à correspondente em A e obter o sistema linear.
Como a matriz à esquerda A tem todas as entradas iguais a 1, igualamos:
\begin{cases} c_{1}+c_{3}+c_{4}=1,\\[4pt] c_{1}-c_{2}-c_{3}=1,\\[4pt] c_{1}+c_{2}=1,\\[4pt] c_{1}=1. \end{cases}]

Passo 6

Resolver o sistema de forma direta e bem mastigada.
  • Da quarta equação segue imediatamente
c_{1}=1.
  • Usando c_{1}=1 na terceira equação c_{1}+c_{2}=1 temos
1+c_{2}=1\quad\Rightarrow\quad c_{2}=0.
  • Usando c_{1}=1 e c_{2}=0 na segunda equação c_{1}-c_{2}-c_{3}=1 temos
1-0-c_{3}=1\quad\Rightarrow\quad -c_{3}=0\quad\Rightarrow\quad c_{3}=0.
  • Finalmente, usando c_{1}=1, c_{3}=0 na primeira equação c_{1}+c_{3}+c_{4}=1 temos
1+0+c_{4}=1\quad\Rightarrow\quad c_{4}=0.

Passo 7

Interpretação final rápida e ânimo.
  • Encontramos os coeficientes c_{1}=1, c_{2}=0, c_{3}=0, c_{4}=0.
  • Isso faz sentido intuitivo: a matriz A é exatamente o primeiro vetor da base B_{1}, então só precisa do coeficiente 1 em B_{1} e zeros nos demais.
  • Você já matou essa questão — na prova, ao ver que o vetor é igual a um dos vetores da base, dá para responder diretamente, mas é bom saber montar o sistema quando não é tão óbvio.

Resposta

\displaystyle \begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}]

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