Mostre que v1=(1,1,1), v2=(0,1,1), v3=(0,1,-1) forma uma base do R^3.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto de vetores
vec v1=(1,1,1), vec v2=(0,1,1) e vec v3=(0,1,-1)
forma uma base de R^3.
Conteúdo: linearidade em espaços vetoriais.
Para provar que três vetores em R^3 formam base, basta mostrar que eles são linearmente independentes (ou que geram R^3). Aqui usaremos o critério do determinante.

Passo 2

Formamos a matriz A cujas colunas são vec v1,vec v2,vec v3:
A = 1 & 0 & 0 1 & 1 & 1 1 & 1 & -1
Sabemos que se det(A)neq0, então as colunas de A são linearmente independentes e, por serem três vetores em R^3, formam uma base.

Passo 3

Calculamos o determinante de A. Como há zeros na primeira linha, expandimos pela primeira linha:
det(A) =1cdotdet1 & 11 & -1 -0cdot(cdots) +0cdot(cdots)

Passo 4

Continuando o cálculo:
det1 & 11 & -1 =1cdot(-1)-1cdot1 =-2
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det(A)=1cdot(-2)=-2neq0

Resposta

Como det(A)=-2neq0, os vetores vec v1,vec v2,vec v3 são linearmente independentes em R^3. Portanto, eles formam uma base de R^3.

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