Determine uma base e a dimensão do núcleo e da imagem das transformações lineares: T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} T(x, y, z)=(x+y+z, 2 x+2 y+2 z).
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2} definida por
T(x,y,z)=(x+y+z,\;2x+2y+2z).
O que nos pede: determinar
uma base do núcleo de T e a dimensão do núcleo;
uma base da imagem de T e a dimensão da imagem.
Informações relevantes dadas: a regra de T (as coordenadas da saída em função de x,y,z). Não há outras condições.
Passo 2
Vamos escrever T como matriz em relação às bases canônicas de \mathbb{R}^3 e \mathbb{R}^2. A imagem de um vetor (x,y,z) por T é uma combinação linear das colunas da matriz cujas entradas são os coeficientes que multiplicam x,y,z. Portanto a matriz A associada a T é
pois T(x,y,z)=A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}.]
Passo 3
Explico rápido os conceitos (passo didático):
Núcleo (ou nulidade): \ker(T)=\{v\in\mathbb{R}^3 : T(v)=0\}. Ou seja, todos os vetores que vão para o vetor nulo em \mathbb{R}^2.
Imagem (ou posto): \operatorname{Im}(T)=\{T(v):v\in\mathbb{R}^3\}. Ou seja, o subespaço de \mathbb{R}^2 formado por todas as saídas possíveis.
Para encontrar a base do núcleo resolvemos A\mathbf{v}=0. Para a imagem, podemos olhar para as colunas de A: a imagem é o espaço gerado por essas colunas.
Portanto os vetores \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -1\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ -1\end{pmatrix} geram o núcleo.]
Passo 5
Verificamos que esses dois vetores são linearmente independentes: nenhuma combinação não trivial a\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -1\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ -1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} tem solução além de a=b=0 (compare componentes). Portanto eles formam uma base do núcleo. Como há dois vetores na base, a dimensão do núcleo é 2, ou seja \dim(\ker T)=2.
Passo 6
Agora a imagem: lembrando que a imagem é o espaço gerado pelas colunas da matriz A. As colunas de A são
O vetor \begin{pmatrix}1\\\ 2\end{pmatrix} é não nulo, portanto forma uma base da imagem. Assim \dim(\operatorname{Im} T)=1.
Como checagem prática (teorema do posto-nulidade): \dim(\mathbb{R}^3)=3 deve ser igual a \dim(\ker T)+\dim(\operatorname{Im} T). De fato 2+1=3, tudo coerente — sinal verde!
Resposta
Base do núcleo: \left\{\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ -1\end{pmatrix}\right\} \dim(\ker T)=2
Base da imagem: \left\{\begin{pmatrix}1\\\ 2\end{pmatrix}\right\} \dim(\operatorname{Im} T)=1