Determine uma base e a dimensão do núcleo e da imagem das transformações lineares:
T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} T(x, y, z)=(x+y+z, 2 x+2 y+2 z).

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2} definida por
T(x,y,z)=(x+y+z,\;2x+2y+2z).
O que nos pede: determinar
  1. uma base do núcleo de T e a dimensão do núcleo;
  2. uma base da imagem de T e a dimensão da imagem.
Informações relevantes dadas: a regra de T (as coordenadas da saída em função de x,y,z). Não há outras condições.

Passo 2

Vamos escrever T como matriz em relação às bases canônicas de \mathbb{R}^3 e \mathbb{R}^2. A imagem de um vetor (x,y,z) por T é uma combinação linear das colunas da matriz cujas entradas são os coeficientes que multiplicam x,y,z. Portanto a matriz A associada a T é
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\[4pt] 2 & 2 & 2 \end{pmatrix},
pois T(x,y,z)=A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}.]

Passo 3

Explico rápido os conceitos (passo didático):
  • Núcleo (ou nulidade): \ker(T)=\{v\in\mathbb{R}^3 : T(v)=0\}. Ou seja, todos os vetores que vão para o vetor nulo em \mathbb{R}^2.
  • Imagem (ou posto): \operatorname{Im}(T)=\{T(v):v\in\mathbb{R}^3\}. Ou seja, o subespaço de \mathbb{R}^2 formado por todas as saídas possíveis.
    Para encontrar a base do núcleo resolvemos A\mathbf{v}=0. Para a imagem, podemos olhar para as colunas de A: a imagem é o espaço gerado por essas colunas.

Passo 4

Calculemos o núcleo: resolvemos
A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}.
Isso equivale ao sistema linear (cada linha de A\) dá uma equação) \[\begin{cases} x+y+z=0,\\[4pt] 2x+2y+2z=0. \end{cases}
Note que a segunda equação é apenas duas vezes a primeira, então é redundante. Portanto só temos uma equação independente:
x+y+z=0.
Vamos resolver essa equação em termos de variáveis livres. Podemos escolher x\] e \(y como parâmetros livres. Defina s=x e t=y. Da equação segue
z = -x - y = -s - t.
Logo um vetor genérico do núcleo é
\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}s\t\\\ -s-t\end{pmatrix} = s\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -1\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ -1\end{pmatrix}.
Portanto os vetores \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -1\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ -1\end{pmatrix} geram o núcleo.]

Passo 5

Verificamos que esses dois vetores são linearmente independentes: nenhuma combinação não trivial a\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -1\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ -1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} tem solução além de a=b=0 (compare componentes). Portanto eles formam uma base do núcleo. Como há dois vetores na base, a dimensão do núcleo é 2, ou seja \dim(\ker T)=2.

Passo 6

Agora a imagem: lembrando que a imagem é o espaço gerado pelas colunas da matriz A. As colunas de A são
\begin{pmatrix}1\\\ 2\end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix}1\\\ 2\end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix}1\\\ 2\end{pmatrix}.
Como todas as três colunas são iguais, a imagem é simplesmente o subespaço gerado por um único vetor \begin{pmatrix}1\\\ 2\end{pmatrix}. Logo
\operatorname{Im}(T)=\operatorname{span}\left\{\begin{pmatrix}1\\\ 2\end{pmatrix}\right\}.

Passo 7

O vetor \begin{pmatrix}1\\\ 2\end{pmatrix} é não nulo, portanto forma uma base da imagem. Assim \dim(\operatorname{Im} T)=1.
Como checagem prática (teorema do posto-nulidade): \dim(\mathbb{R}^3)=3 deve ser igual a \dim(\ker T)+\dim(\operatorname{Im} T). De fato 2+1=3, tudo coerente — sinal verde!

Resposta

Base do núcleo: \left\{\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ -1\end{pmatrix}\right\}
\dim(\ker T)=2
Base da imagem: \left\{\begin{pmatrix}1\\\ 2\end{pmatrix}\right\}
\dim(\operatorname{Im} T)=1

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