Determine uma base e a dimensão do núcleo e da imagem das transformações lineares:
T: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{3} T(x, y, z, t)=(x-y+z+t, 2 x-2 y+ 3 z+4 t, 3 x-3 y+4 z+5 t).

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T: \mathbb{R}^{4}\to\mathbb{R}^{3} definida por
T(x,y,z,t)=(x-y+z+t,\;2x-2y+3z+4t,\;3x-3y+4z+5t).
Perguntas a responder:
  1. Determine uma base do núcleo de T e a dimensão do núcleo.
  2. Determine uma base da imagem de T e a dimensão da imagem.
Informações relevantes dadas: as três coordenadas de T(x,y,z,t) expressas em função de x,y,z,t. Não há outras restrições.

Passo 2

Estratégia e conceitos necessários (explicados de forma didática):
  • Representamos T pela matriz A cujas colunas são as imagens dos vetores da base canônica de \mathbb{R}^4. Isso facilita resolver sistema linear e identificar núcleo e imagem.
  • Núcleo (kernel) de T: conjunto de vetores (x,y,z,t) tais que T(x,y,z,t)=0. Ou seja, soluções do sistema homogêneo A\begin{pmatrix}x\y\z\t\end{pmatrix}=0. Encontramos uma base do núcleo resolvendo esse sistema e escrevendo a solução em função de variáveis livres.
  • Imagem (column space) de T: espaço gerado pelas colunas de A (as imagens dos vetores da base canônica). Uma base da imagem pode ser obtida escolhendo as colunas correspondentes aos pivôs após escalonar A.
  • Dimensão da imagem é o posto ( \operatorname{rank}) da matriz A. Dimensão do núcleo é a nulidade ( \operatorname{nullity}). Teorema fundamental (rank-nullity): \dim(\ker T)+\dim(\operatorname{Im} T)=4 (número de colunas).
Agora vamos construir A e fazer escalonamento para encontrar pivôs, soluções do sistema e, daí, as bases e dimensões.

Passo 3

Matriz A associada a T (colunas são as imagens de (1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)):
A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & 1\\[4pt] 2 & -2 & 3 & 4\\[4pt] 3 & -3 & 4 & 5 \end{pmatrix}.
Denotando as colunas por \;c_1,c_2,c_3,c_4\; temos
c_1=\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix},\; c_2=\begin{pmatrix}-1\\\ -2\\\ -3\end{pmatrix},\; c_3=\begin{pmatrix}1\\\ 3\\\ 4\end{pmatrix},\; c_4=\begin{pmatrix}1\\\ 4\\\ 5\end{pmatrix}.
Observação simples (útil): c_2=-c_1, então c_2 é linearmente dependente de c_1.]

Passo 4

Escalonamento da matriz A para determinar pivôs e resolver o sistema homogêneo A\begin{pmatrix}x\y\z\t\end{pmatrix}=0.
Começamos com
\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & 1\\[4pt] 2 & -2 & 3 & 4\\[4pt] 3 & -3 & 4 & 5 \end{pmatrix}.
Usamos operações elementares:
  • R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1:
R_2 = (2,-2,3,4) - 2(1,-1,1,1) = (0,0,1,2).
  • R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1:
R_3 = (3,-3,4,5) - 3(1,-1,1,1) = (0,0,1,2).
Agora a matriz é
\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}.
  • R_3 \leftarrow R_3 - R_2 elimina a terceira linha:
\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Equações correspondentes ao sistema A(x,y,z,t)^T=0:
  • Da primeira linha: \;x - y + z + t = 0.
  • Da segunda linha: \;z + 2t = 0.
  • Terceira linha não acrescenta informação.
Da segunda equação temos:
z = -2t.
Substituindo em x - y + z + t = 0:
x - y + (-2t) + t = 0 \quad\Longrightarrow\quad x - y - t = 0.
Logo
x = y + t.
Escolhemos variáveis livres: deixe y=s e t=r com s,r\in\mathbb{R}. Então
x = s + r,\quad y = s,\quad z = -2r,\quad t = r.
Escrevendo o vetor geral do núcleo:
\begin{pmatrix}x\y\z\t\end{pmatrix} = s\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} + r\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -2\\\ 1\end{pmatrix}.
Portanto uma base do núcleo é formada pelos dois vetores independentes que aparecem como coeficientes de s e r:
\left\{\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -2\\\ 1\end{pmatrix}\right\}.
Dimensão do núcleo (nulidade) é o número de vetores na base: \dim(\ker T)=2.]

Passo 5

Imagem de T (coluna espaço). Do escalonamento (matriz escalonada)
\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
vemos pivôs nas colunas 1 e 3. Isso significa que as colunas originais c_1 e c_3 formam uma base da imagem (colunas pivotais escolhidas na matriz original).
Assim uma base da imagem é
\left\{\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}1\\\ 3\\\ 4\end{pmatrix}\right\}.
A dimensão da imagem (posto) é o número de pivôs: \dim(\operatorname{Im} T)=2.
Verificação rápida de consistência via rank-nullity:
\dim(\ker T)+\dim(\operatorname{Im} T)=2+2=4,
que coincide com a dimensão do espaço de partida \mathbb{R}^4, conforme esperado.]

Resposta

\ker T tem base \left\{\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -2\\\ 1\end{pmatrix}\right\} e \dim(\ker T)=2.
\operatorname{Im} T tem base \left\{\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}1\\\ 3\\\ 4\end{pmatrix}\right\} e \dim(\operatorname{Im} T)=2.

Exercícios relacionados