Determine uma base e a dimensão do núcleo e da imagem das transformações lineares: T: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{3} T(x, y, z, t)=(x-y+z+t, 2 x-2 y+ 3 z+4 t, 3 x-3 y+4 z+5 t).
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear T: \mathbb{R}^{4}\to\mathbb{R}^{3} definida por
T(x,y,z,t)=(x-y+z+t,\;2x-2y+3z+4t,\;3x-3y+4z+5t).
Perguntas a responder:
Determine uma base do núcleo de T e a dimensão do núcleo.
Determine uma base da imagem de T e a dimensão da imagem.
Informações relevantes dadas: as três coordenadas de T(x,y,z,t) expressas em função de x,y,z,t. Não há outras restrições.
Passo 2
Estratégia e conceitos necessários (explicados de forma didática):
Representamos T pela matriz A cujas colunas são as imagens dos vetores da base canônica de \mathbb{R}^4. Isso facilita resolver sistema linear e identificar núcleo e imagem.
Núcleo (kernel) de T: conjunto de vetores (x,y,z,t) tais que T(x,y,z,t)=0. Ou seja, soluções do sistema homogêneo A\begin{pmatrix}x\y\z\t\end{pmatrix}=0. Encontramos uma base do núcleo resolvendo esse sistema e escrevendo a solução em função de variáveis livres.
Imagem (column space) de T: espaço gerado pelas colunas de A (as imagens dos vetores da base canônica). Uma base da imagem pode ser obtida escolhendo as colunas correspondentes aos pivôs após escalonar A.
Dimensão da imagem é o posto (\operatorname{rank}) da matriz A. Dimensão do núcleo é a nulidade (\operatorname{nullity}). Teorema fundamental (rank-nullity): \dim(\ker T)+\dim(\operatorname{Im} T)=4 (número de colunas).
Agora vamos construir A e fazer escalonamento para encontrar pivôs, soluções do sistema e, daí, as bases e dimensões.
Passo 3
Matriz A associada a T (colunas são as imagens de (1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)):
vemos pivôs nas colunas 1 e 3. Isso significa que as colunas originais c_1 e c_3 formam uma base da imagem (colunas pivotais escolhidas na matriz original).
A dimensão da imagem (posto) é o número de pivôs: \dim(\operatorname{Im} T)=2.
Verificação rápida de consistência via rank-nullity:
\dim(\ker T)+\dim(\operatorname{Im} T)=2+2=4,
que coincide com a dimensão do espaço de partida \mathbb{R}^4, conforme esperado.]
Resposta
\ker T tem base \left\{\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -2\\\ 1\end{pmatrix}\right\} e \dim(\ker T)=2. \operatorname{Im} T tem base \left\{\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}1\\\ 3\\\ 4\end{pmatrix}\right\} e \dim(\operatorname{Im} T)=2.