Determine o núcleo das transformações lineares abaixo e descreva-os geometricamente.
.
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar o núcleo (kernel) da transformação linear e descrevê-lo geometricamente.
Dados fornecidos: a transformação linear com a fórmula indicada no enunciado. Vou interpretar a fórmula como
Dados fornecidos: a transformação linear
isto é,
tem domínio
, contradomínio
e a imagem de um vetor
é
. O objetivo é achar o conjunto de todos os vetores de
que são levados ao escalar zero por
, e explicar geometricamente que conjunto é esse.
Passo 2
Definição do núcleo (o que significa na prática): o núcleo de
, anotado
, é o conjunto de vetores de
que
envia para zero. Em forma matemática:
Isso significa que para encontrar
resolvemos a equação
.
Passo 3
Escrevendo a equação que define o núcleo usando a fórmula de
:
Essa é a condição que os vetores do núcleo devem satisfazer.
Passo 4
Resolver a equação
. Isolando
obtemos
As coordenadas de um vetor do núcleo satisfazem
e
é livre (não aparece na equação). Para parametrizar, chamo
e
, com
. Assim
Passo 5
Interpretação da parametrização: qualquer vetor do núcleo é combinação linear de
e
. Portanto esses vetores geram o núcleo. Escrevemos isso como
Agora verifico que
e
são linearmente independentes: se
, então das segunda e terceira coordenadas vem
e
. Logo são independentes e formam uma base do núcleo, que portanto tem dimensão 2.
Passo 6
Verificação por substituição (exemplo concreto): aplicando
a cada gerador obtemos
confirmando que ambos estão no núcleo, e assim qualquer combinação linear também.
Passo 7
Descrição geométrica clara: a condição
pode ser vista como produto escalar com o vetor normal
, pois
Portanto
é o conjunto de vetores ortogonais a
, ou seja, é um plano passando pela origem cujo vetor normal é
. Outra descrição intuitiva: é o plano que, quando intersectado com o plano
(plano
), dá a reta
; o plano é paralelo ao eixo
.
Resposta
É o plano passando pela origem com vetor normal