Determine o núcleo das transformações lineares abaixo e descreva-os geometricamente.
T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}, T(x, y)=x-2 y.

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar o núcleo (kernel) da transformação linear e descrevê-lo geometricamente.
Dados fornecidos: a transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R} com a fórmula indicada no enunciado. Vou interpretar a fórmula como
T(x,y,z)=x-2y,
isto é, T tem domínio \mathbb{R}^3, contradomínio \mathbb{R} e a imagem de um vetor (x,y,z) é x-2y. O objetivo é achar o conjunto de todos os vetores de \mathbb{R}^3 que são levados ao escalar zero por T, e explicar geometricamente que conjunto é esse.

Passo 2

Definição do núcleo (o que significa na prática): o núcleo de T, anotado \ker T, é o conjunto de vetores de \mathbb{R}^3 que T envia para zero. Em forma matemática:
\ker T=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid T(x,y,z)=0\}.
Isso significa que para encontrar \ker T resolvemos a equação T(x,y,z)=0.

Passo 3

Escrevendo a equação que define o núcleo usando a fórmula de T:
T(x,y,z)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad x-2y=0.
Essa é a condição que os vetores do núcleo devem satisfazer.

Passo 4

Resolver a equação x-2y=0. Isolando x obtemos
x=2y.
As coordenadas de um vetor do núcleo satisfazem x=2y e z é livre (não aparece na equação). Para parametrizar, chamo y=s e z=t, com s,t\in\mathbb{R}. Assim
(x,y,z)=(2s,s,t)=s(2,1,0)+t(0,0,1).

Passo 5

Interpretação da parametrização: qualquer vetor do núcleo é combinação linear de (2,1,0) e (0,0,1). Portanto esses vetores geram o núcleo. Escrevemos isso como
\ker T=\mathrm{span}\{(2,1,0),(0,0,1)\}.
Agora verifico que (2,1,0) e (0,0,1) são linearmente independentes: se a(2,1,0)+b(0,0,1)=(0,0,0), então das segunda e terceira coordenadas vem a=0 e b=0. Logo são independentes e formam uma base do núcleo, que portanto tem dimensão 2.

Passo 6

Verificação por substituição (exemplo concreto): aplicando T a cada gerador obtemos
T(2,1,0)=2-2\cdot1=0,\qquad T(0,0,1)=0-2\cdot0=0,
confirmando que ambos estão no núcleo, e assim qualquer combinação linear também.

Passo 7

Descrição geométrica clara: a condição x-2y=0 pode ser vista como produto escalar com o vetor normal (1,-2,0), pois
(1,-2,0)\cdot(x,y,z)=x-2y.
Portanto \ker T é o conjunto de vetores ortogonais a (1,-2,0), ou seja, é um plano passando pela origem cujo vetor normal é (1,-2,0). Outra descrição intuitiva: é o plano que, quando intersectado com o plano z=0 (plano xy), dá a reta x=2y; o plano é paralelo ao eixo z.

Resposta

\ker T=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid x-2y=0\}=\mathrm{span}\{(2,1,0),(0,0,1)\}
É o plano passando pela origem com vetor normal (1,-2,0) (equivalente ao plano x-2y=0), isto é, um plano de dimensão 2 paralelo ao eixo z.

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