Determine uma base e a dimensão do núcleo e da imagem das transformações lineares:
T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} T(x, y, z)=(x+y, y+z).

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T: \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2} definida por
T(x,y,z)=(x+y,\;y+z).
O que nos pedem:
  • Determinar uma base do núcleo de T e a dimensão do núcleo.
  • Determinar uma base da imagem de T e a dimensão da imagem.
    Informações úteis que já temos diretamente do enunciado: a fórmula explícita de T para um vetor (x,y,z)\in\mathbb{R}^3.

Passo 2

Vamos lembrar, rapidamente e de forma prática, o que significam núcleo e imagem:
  • O núcleo (ou kernel) de T é o conjunto dos vetores de \mathbb{R}^3 que são enviados para o vetor nulo em \mathbb{R}^2. Em símbolos:
\ker(T)=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid T(x,y,z)=(0,0)\}.
Para encontrar uma base do núcleo, resolvemos o sistema linear dado por T(x,y,z)=(0,0).
  • A imagem (ou range) de T é o conjunto dos vetores em \mathbb{R}^2 que aparecem como T(v) para algum v\in\mathbb{R}^3:
\operatorname{Im}(T)=\{T(v)\in\mathbb{R}^2 \mid v\in\mathbb{R}^3\}.
Uma maneira prática é olhar para as colunas da matriz de T na base canônica: a imagem é o subespaço gerado por essas colunas; uma base da imagem pode ser obtida extraindo colunas linearmente independentes.

Passo 3

Escrevemos T na forma de matriz em relação às bases canônicas. Para (x,y,z) a matriz A que representa T é obtida olhando as imagens dos vetores canônicos:
  • T(1,0,0)=(1,0) dá a primeira coluna,
  • T(0,1,0)=(1,1) dá a segunda coluna,
  • T(0,0,1)=(0,1) dá a terceira coluna.
    Logo
A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1\end{pmatrix}.
Assim, a imagem de T é \operatorname{span} das colunas (1,0),\,(1,1),\,(0,1).]

Passo 4

Agora encontramos o núcleo resolvendo A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}\), isto é, o sistema \[\begin{cases} x+y=0,\\[4pt] y+z=0. \end{cases}
Resolvendo passo a passo:
  • Da primeira equação temos x=-y\]. - Da segunda equação temos \(z=-y.
    Tomando y como parâmetro, seja y=t\in\mathbb{R}. Então
(x,y,z)=(-t,\;t,\;-t)=t(-1,1,-1).
Isso mostra que todo vetor do núcleo é múltiplo de (-1,1,-1). Portanto
\ker(T)=\operatorname{span}\{(-1,1,-1)\}.
Logo uma base do núcleo é \{(-1,1,-1)\} e a dimensão de \ker(T) é \dim(\ker(T))=1.]

Passo 5

Agora a imagem. Já vimos que as colunas de A são
c_1=(1,0),\quad c_2=(1,1),\quad c_3=(0,1).
Verificamos relações entre elas:
c_2 = c_1 + c_3,
portanto c_2 é combinação linear de c_1 e c_3. Os vetores c_1=(1,0) e c_3=(0,1) são claramente linearmente independentes (são os vetores canônicos de \mathbb{R}^2), e geram as demais colunas. Assim
\operatorname{Im}(T)=\operatorname{span}\{(1,0),\,(0,1)\}=\mathbb{R}^2.
Uma base da imagem é \{(1,0),(0,1)\} e a dimensão é \dim(\operatorname{Im}(T))=2.

Passo 6

Checagem rápida com o teorema da dimensão (rank-nullity): \dim(\ker(T))+\dim(\operatorname{Im}(T))=1+2=3, que é igual a \dim(\mathbb{R}^3). Está consistente — sinal de que não cometemos erro.

Resposta

Base do núcleo: \{(-1,1,-1)\}, \dim(\ker(T))=1
Base da imagem: \{(1,0),(0,1)\}, \dim(\operatorname{Im}(T))=2

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