Determine uma base e a dimensão do núcleo e da imagem das transformações lineares:
.
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
definida por
O que nos pedem:
- Determinar uma base do núcleo de
e a dimensão do núcleo. - Determinar uma base da imagem de
e a dimensão da imagem.
Informações úteis que já temos diretamente do enunciado: a fórmula explícita depara um vetor .
Passo 2
Vamos lembrar, rapidamente e de forma prática, o que significam núcleo e imagem:
- O núcleo (ou kernel) de
é o conjunto dos vetores de que são enviados para o vetor nulo em . Em símbolos:
Para encontrar uma base do núcleo, resolvemos o sistema linear dado por
.
- A imagem (ou range) de
é o conjunto dos vetores em que aparecem como para algum :
Uma maneira prática é olhar para as colunas da matriz de
na base canônica: a imagem é o subespaço gerado por essas colunas; uma base da imagem pode ser obtida extraindo colunas linearmente independentes.
Passo 3
Escrevemos
na forma de matriz em relação às bases canônicas. Para
a matriz
que representa
é obtida olhando as imagens dos vetores canônicos:
-
dá a primeira coluna, -
dá a segunda coluna, -
dá a terceira coluna.
Logo
Assim, a imagem de
é
das colunas
.]
Passo 4
Agora encontramos o núcleo resolvendo
Resolvendo passo a passo:
- Da primeira equação temos
.
Tomandocomo parâmetro, seja . Então
Isso mostra que todo vetor do núcleo é múltiplo de
. Portanto
Logo uma base do núcleo é
e a dimensão de
é
.]
Passo 5
Agora a imagem. Já vimos que as colunas de
são
Verificamos relações entre elas:
portanto
é combinação linear de
e
. Os vetores
e
são claramente linearmente independentes (são os vetores canônicos de
), e geram as demais colunas. Assim
Uma base da imagem é
e a dimensão é
.
Passo 6
Checagem rápida com o teorema da dimensão (rank-nullity):
, que é igual a
. Está consistente — sinal de que não cometemos erro.
Resposta
Base do núcleo:
,
Base da imagem: ,
Base da imagem: