Determine uma base e a dimensão para os seguintes subespaços:
W=p(x) in P2(R): p(0)=p(-1).

Passo 1

O enunciado pede uma base e a dimensão do subespaço
W = ,p(x)inP2(R): p(0)=p(-1)
Aqui estamos em P2(R), o espaço de polinômios de grau até 2, que é de dimensão 3. Para achar W, vamos usar o conceito de subespaço definido por uma restrição linear: escrever um polinômio genérico e impor p(0)=p(-1).

Passo 2

Seja
p(x)=ax^2+bx+c, a,b,cinR
A condição p(0)=p(-1)
p(0)=c, p(-1)=acdot(-1)^2 + bcdot(-1) + c = a - b + c
Impondo p(0)=p(-1) obtemos
c = a - b + c Longrightarrow a - b = 0 Longrightarrow b = a

Passo 3

Como b=a, qualquer pin W tem a forma
p(x)=a x^2 + a x + c = a,(x^2+x) + c,(1),
com a,cinR. Logo todo pin W é combinação linear de x^2+x e 1.

Passo 4

Verificamos que x^2+x e 1 são LI (não há escalar não-trivial que anule a,(x^2+x)+c,1=0 salvo a=c=0). Portanto
,x^2 + x,; 1
é uma base de W.

Resposta

Uma base de W é ,x^2 + x,;1 e dim W = 2.

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