Determine uma base e a dimensão para os seguintes subespaços:
W=(x, y, z, t) in R^4: y=0 e z=t+x.

Passo 1

O enunciado define o subespaço
W=(x,y,z,t)inR^4 mid y=0,;z=t+x.
O conteúdo aqui é identificação de um subespaço por equações lineares, e vamos usar parametrização para encontrar uma base e a dimensão de W.

Passo 2

Impondo as condições y=0 e z=t+x, todo vetor de W pode ser escrito como
(x,y,z,t)=(x,0,x+t,t)
Aqui podemos escolher x e t como parâmetros livres.

Passo 3

Separemos a combinação linear em função de x e t:
(x,0,x+t,t) = x,(1,0,1,0);+;t,(0,0,1,1)
Logo, os vetores (1,0,1,0) e (0,0,1,1) geram W.

Passo 4

Verificamos que (1,0,1,0) e (0,0,1,1) são linearmente independentes, pois nenhuma combinação não trivial as anula. Como temos dois geradores independentes, concluímos que
dim(W)=2.

Resposta

Base de W: (1,0,1,0),,(0,0,1,1)
dim(W)=2

Exercícios relacionados