Determine uma base e a dimensão para os seguintes subespaços:
W=(x, y, z, t) in R^4: x=2 y e z-t=0.

Passo 1

O enunciado pede uma base e a dimensão do subespaço
W=(x,y,z,t)inR^4:x=2y e z-t=0
O conteúdo aqui é resolver um sistema linear para descrever W parametrizando as variáveis livres, depois extrair uma base e contar seus vetores para obter a dimensão.

Passo 2

As equações que definem W são
x-2y=0, z-t=0
Podemos tomar como variáveis livres y e t. Então
x=2y, z=t

Passo 3

Um vetor genérico em W fica
(x,y,z,t)=(2y,y,t,t) =y,(2,1,0,0)+t,(0,0,1,1)

Passo 4

Os vetores
v1=(2,1,0,0), v2=(0,0,1,1)
geram W. Como são claramente linearmente independentes (nenhum é múltiplo do outro), formam uma base de W.

Passo 5

A base tem 2 vetores, logo
dim W=2

Resposta

Uma base de W é (2,1,0,0),,(0,0,1,1) e dim W=2.

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