Questão 2: (26 pontos) Sejam
subespaços vetoriais de
.
(a) (10 pontos) Determine uma base de
e encontre a dimensão de
.
(b) (10 pontos) Determine uma base de
e encontre a dimensão de
.
(c) (6 pontos) Sabendo que
, encontre
. Podemos dizer que
? Justifique sua resposta.
(a) (10 pontos) Determine uma base de
(b) (10 pontos) Determine uma base de
(c) (6 pontos) Sabendo que
Passo 1
O enunciado dá os subespaços
e
pede-se (a) base e dimensão de
, (b) base e dimensão de
e (c) dimensão de
sabendo
e verificar se
. Vamos usar resolução de sistemas lineares, parametrização e o teorema da dimensão para soma de subespaços.
Passo 2
Para achar uma base de
Das duas equações obtemos
Igualando e então
. A coordenada
é livre. Logo todo vetor em
é
Uma base de
é
portanto
.
Passo 3
Para
tomamos o vetor genérico de
,
, e impomos a equação de
:
Fica
. Logo
tem base
e
.
Passo 4
Pelo teorema da dimensão para soma de subespaços:
Como
tem dimensão
, segue que
.
Resposta
(a) Base de
:
,
.
(b) Base de :
,
.
(c) e portanto
.
(b) Base de
(c)