Questão 2: (26 pontos) Sejam
U=(x, y, z, t) in R^4 ; x-2 y+z=0 e x-y-z=0 e W=(x, y, z, t) in R^4 ; x+y+3 z=0
subespaços vetoriais de R^4.
(a) (10 pontos) Determine uma base de U e encontre a dimensão de U.
(b) (10 pontos) Determine uma base de U cap W e encontre a dimensão de U cap W.
(c) (6 pontos) Sabendo que dim W=3, encontre dim(U+W). Podemos dizer que U+W=R^4 ? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá os subespaços
U=(x,y,z,t)inR^4;;x-2y+z=0,;x-y-z=0
e
W=(x,y,z,t)inR^4;;x+y+3z=0,
pede-se (a) base e dimensão de U, (b) base e dimensão de Ucap W e (c) dimensão de U+W sabendo dim W=3 e verificar se U+W=R^4. Vamos usar resolução de sistemas lineares, parametrização e o teorema da dimensão para soma de subespaços.

Passo 2

Para achar uma base de
Das duas equações obtemos
Igualando e então . A coordenada é livre. Logo todo vetor em é
Uma base de é
portanto .

Passo 3

Para Ucap W tomamos o vetor genérico de U, v=z,(3,2,1,0)+t,(0,0,0,1), e impomos a equação de W:
x+y+3z=0 implies 3z+2z+3z=8z=0 implies z=0
Fica v=t,(0,0,0,1). Logo
Ucap W=,t,(0,0,0,1)mid tinR
tem base (0,0,0,1) e dim(Ucap W)=1.

Passo 4

Pelo teorema da dimensão para soma de subespaços:
dim(U+W)=dim U+dim W-dim(Ucap W)=2+3-1=4
Como R^4 tem dimensão 4, segue que U+W=R^4.

Resposta

(a) Base de U: (3,2,1,0),,(0,0,0,1), dim U=2.
(b) Base de Ucap W: (0,0,0,1), dim(Ucap W)=1.
(c) dim(U+W)=4 e portanto U+W=R^4.

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