Questão 4 Sejam u=(2,-1) e v=(-1,0) vetores cujas coordenadas são dadas em relação a base canônica. Suponha que numa base G de R^2, temos u=(1,0)G e v=(1,-1)G são as representações respectivas de u ev na base G.
(a) Determine G.
(b) Escreva o vetor (7,-3), cujas coordenadas são dadas em relação a base canônica, na base G.

Passo 1

O enunciado dá os vetores na base canônica:
u=(2,-1) e v=(-1,0). Em uma outra base G=g1,g2 de R^2, as coordenadas são
u=(1,0)G, v=(1,-1)G
Queremos descobrir g1 e g2, isto é, a base G, e depois expressar (7,-3) nessa base.

Passo 2

Como u=(1,0)G, isso significa
u = 1cdot g1 + 0cdot g2 = g1
Logo
g1 = u = (2,-1)

Passo 3

Como v=(1,-1)G, temos
v = 1cdot g1 + (-1)cdot g2 = g1 - g2
Como já sabemos g1=(2,-1) e v=(-1,0), basta resolver
(2,-1) - g2 = (-1,0)
para achar g2.

Passo 4

Resolvendo (2,-1)-g2 = (-1,0)
g2 = (2,-1) - (-1,0) = (3,-1)
Portanto a base pedida é
G = ,g1,g2 = (2,-1),;(3,-1)

Passo 5

Agora queremos coordenadas (a,b) tais que
a,g1 + b,g2 = (7,-3)
Ou seja,
a,(2,-1) + b,(3,-1) = (7,-3)
Isso gera o sistema
2a + 3b = 7, -,a - b = -3

Passo 6

Resolvendo o sistema, da segunda equação vem a+b=3. Substituindo na primeira:
2(3-b) + 3b = 7 ;Longrightarrow; 6 + b = 7 ;Longrightarrow; b=1, a=2

Resposta

(a) G = (2,-1),,(3,-1)
(b) As coordenadas de (7,-3) na base G são (2,1).

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